Группа 203 "Математика"
Тема: "Начало математического анализа"
Тема урока: "Последовательность. Способы задания. Свойства числовых последовательностей"
Числовая последовательность – это числовая функция (
), которая определена на множестве натуральных чисел (
).
Областью определения является множество натуральных чисел (
).
Обозначают члены последовательности так:
; 
; 
;…; 
Числовая последовательность – это частный случай функции. Как и любая функция, последовательность может задаваться различными способами.
Способы задания числовой последовательности:
1. Аналитический (при помощи формулы)
2. Словесный
3. Рекуррентный
Аналитический способ задания числовой последовательности
Последовательность задана аналитически, если указана формула для вычисления ее -го члена.
, где 
Рассмотрим примеры:
1. 
,
Это аналитическое задание последовательности чисел: 
; 
; 
;…; 
;… Указав конкретное значение 
, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером.
Построим график данной последовательности. Согласно определению графика функции, графиком данной последовательности является множество всех точек 
, где (см. Рис. 1). Все эти точки лежат на правой ветви гиперболы 
.
Рис. 1. График числовой последовательности
Функция при 
убывает, следовательно, числовая последовательность также убывает.
2. 
Выпишем несколько членов данной числовой последовательности:
; 
; 
;…
График данной последовательности – это множество точек с координатами 
, где (см. Рис. 2). Все эти точки лежат на ломаной 
.
Рис. 2. График числовой последовательности
Числовая последовательность убывает при 
, возрастает при 
.
Словесный способ задания числовой последовательности
Словесный способ задания числовой последовательности используется, когда правило задания последовательности описано словами, не указывая формулы.
Пример
Дано: 
– это -я цифра после запятой в десятичной записи числа 
.
; 
; 
; 
; 
;…
Рекуррентный способ задания числовой последовательности
Последовательность задана рекуррентно, если указано правило, по которому -й член вычисляется по предыдущим членам.
Пример
; 
; 
, где 
В данном примере задана возможность получения любого -го члена последовательности:
; ; 
; 
; 
;…
Задача 1
В числовой последовательности ; ; , где 
найти 7 член.
Решение
Для того чтобы найти 7 член данной последовательности, необходимо знать 5 и 6 член. В предыдущем примере мы нашли 3, 4 и 5 член, следовательно, можно найти 6, а далее и 7 член.
; 
; 
; 
Ответ: 
Задача 2
Дано:
Найти: является ли число 
некоторым членом заданной последовательности?
Решение
Приравниваем формулу для -го члена последовательности 
к числу , получим уравнение относительно . Если будет натуральным числом, то число является членом заданной последовательности.
Следовательно: 
Ответ: число является 5 членом заданной последовательности.
Задача 3
Укажите формулу общего члена последовательности, которая задана несколькими членами: 1; 4; 9; 16; 25.
Решение
Запишем каждый член последовательности в следующем виде:
Видно, что члены последовательности представляют собой квадраты последовательных натуральных чисел. Таким образом, делаем вывод, что:
, где
Ответ:, где .
Домашнее задание:
1. Дано:
Найти: 
2. Проверить, являются ли числа 
и 
членами последовательности 
3. Укажите формулу общего члена последовательности, которая задана несколькими членами: 2; 9; 16; 25; 36.
