Группа 401 "Математика"

30.11.2022

Тема занятия: "Экстремумы функции"

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1 и х2,  из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Точка максимума функции. Точку  х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2,  из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1) Найти область определения функции D(f)

2) Найти f' (x).

3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не

существует) точки функции y = f(x).

4) Отметить стационарные и критические точки на числовой

прямой и определить знаки производной на получившихся

промежутках.

5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее

экстремума.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

• Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0).
• Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).

Точки максимума и минимума – точки экстремума.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

1. найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
2. найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
3. выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежуток монотонности функции у=х2 -8х +5

Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8

2x-8=0

х=4

Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9

Решение: Найдем производную заданной функции: 

Найдем нули производной: 

х=-2,5

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Ответ: -2,5 точка min

№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t2 − 48t + 15, где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени. 

V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 м\c

Ответ: V=12 м\c

№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3

Ответ: 3

Выполнить упражнения по учебнику:  "Алгебра 10-11 класс" 

№915, 916, 917 стр 270

  30.11.2022

Группа 406

Предмет: Профессиональная этика и культура вождения 

Тема урока: Культура водителя и влияние общества 

Цель урока: изучить данную тему, составить конспект урока.

Надежность водителя в значительной степени зависит от таких его нрав­ственных качеств, как дисциплинированность, чувство ответственности, кол­лективизм. Трудолюбие, чуткое отношение к людям, скромность – эти качества обычно присущи хорошим и надежным водителям. Отсутствие интереса к ра­боте, эгоизм, грубость и бесцеремонное отношение к окружающим людям, не­уважительное отношение к правопорядку – эти качества недисциплинированно­го водителя.

Недисциплинированность водителя чаще всего проявляется в игнориро­вании требований Правил дорожного движения. Водитель должен заботиться не только о личной безопасности, но и о безопасности других участников дви­жения. Нужно не только строго соблюдать Правила, но и следить за действия­ми других участников движения. При виде ошибок, допущенных пешеходом или другими водителями, нужно сделать все возможное, чтобы предотвратить ДТП. Очень важна взаимная предупредительность участников движения, от­сутствие которой связано не только с нарушением пред писаний Правил, но и свидетельствует об отсутствии или недостатках воспитания, что характерно для многих водителей. Так, например, водители многих городов, выполняя пово­рот, игнорируют требования пропустить пешеходов, находящихся на пешеход­ных переходах. Нередки случаи, когда водитель, вынужденный пропустить пе­шеходов, допускает грубые окрики, пугает их звуковым сигналом или подъез­жает вплотную. Вежливый водитель всегда считается с другими участниками движения при выборе приемов вождения, владеет собой, старается по возмож­ности избегать осложнений, а при возникновении их пытается разрешить си­туацию безопасным путем. Вежливый водитель – это, прежде всего, думающий и внимательный водитель. В ГЩД отсутствует требование быть вежливым. Но также не говорится, что водитель не имеет права отказаться от приоритета, если он об этом своевременно оповещает других участников движения. Если води­тели, нарушающие ПДД, несут наказание, то не вежливые водители, соблю­дающие ПДД, наказанию не подлежат. Например, водитель, который остано­вился перед «зеброй», чтобы пропустить пересекающих проезжую часть пеше­ходов, выполняет требования ГЩД. Водитель же, остановившийся, чтобы про­пустить пожилого человека или мать с коляской, ожидающих на тротуаре воз­можности перехода, является вежливым водителем.

Вежливость в дорожном движении, однако, нельзя доводить до абсурда. Например, водитель, который при неинтенсивном движении предлагает право проезда водителю транспортного средства, у которого согласно ПДД этого пра­ва нет; создает своими действиями неразбериху, что может привести к опасной ситуации. Жеманность в дорожном движении неуместна.

Часто требуется участие и взаимная помощь других водителей а полу­чить их удается не скоро, хотя мимо проехало много водителей. Водитель будет чувствовать себя немного уверенней, если участники движения будут взаимно доброжелательны, готовы выручить и оказать помощь.

  30.11.2022

Группа 508

Предмет: Обществознание 

Тема урока: Мировоззрение и картина мира 

Цель урока: изучить данную тему, составить конспект урока 

МИРОВОЗЗРЕНИЕ – ЯДРО ДУХОВНОЙ ЖИЗНИ

В жизни человека особую роль играют ориентиры его жизни и деятельности, своего рода духовные маяки, которые, как правило, выработаны многовековым опытом человечества и передаются от поколения к поколению. Самыми яркими из них являются нравственные и мировоззренческие ориентиры. Нравственные были рассмотрены выше. Ниже речь пойдет о мировоззренческих.

В кратком, наиболее распространенном понимании мировоззрение – это совокупность взглядов человека на мир, который его окружает. Более развернутое определение характеризует мировоззрение как совокупность взглядов, оценок, норм и установок, определяющих отношение человека к окружающему миру, его месту в нем и выступающих в качестве ориентиров и регуляторов поведения личности.

Иногда в литературе встречаются термины, близкие термину «мировоззрение», – «миропонимание», «миросозерцание». Они означают, с одной стороны, мир, который окружает человека, а с другой – то, что связано с деятельностью человека: его ощущения, созерцание, понимание, воззрения, взгляд на мир.

Мировоззрение отличается от других элементов духовного мира человека тем, что оно, во-первых, представляет собой взгляд человека не на какую-то отдельную сторону мира, а именно на мир в целом. Во-вторых, мировоззрение отражает отношение человека к окружающему его миру: боится, страшится ли человек этого мира или он живет в ладу, в гармонии с ним? Удовлетворен ли человек окружающим миром или стремится изменить его?

Таким образом, мировоззрение – это целостное представление о природе, обществе, человеке, находящее выражение в системе ценностей и идеалов личности, социальной группы, общества.

От чего зависит то или иное мировоззрение? Прежде всего отметим, что оно носит исторический характер: каждой исторической эпохе присущи свой уровень знаний, свои проблемы, свои подходы к их решению, свои духовные ценности.

Классификация типов мировоззрения может быть различной. Так, в истории философии прослеживается несколько подходов к выработке мировоззренческих установок. Одни из философов отдают приоритет Богу (теоцентризм) или природе (природоцентризм), другие – человеку (антропоцентризм), либо обществу (социоцентризм), либо знаниям, науке (знаниецентризм, наукоцентризм). Иногда мировоззрение делят на прогрессивное и реакционное.

Но более всего распространена следующая классификация типов мировоззрения.

Обыденное мировоззрение возникает в жизни человека в процессе его личной практической деятельности, поэтому его иногда называют житейским мировоззрением. Взгляды человека в этом случае не обосновываются религиозными доводами или данными науки. Такое мировоззрение формируется стихийно, особенно если человек не интересовался мировоззренческими вопросами в учебном заведении, не изучал самостоятельно философию, не знакомился с содержанием религиозных учений. Конечно, нельзя полностью исключить влияние религии или достижений науки, ибо человек постоянно общается с другими людьми; ощутимо и влияние средств массовой информации, но преобладает житейская, обыденная основа. Обыденное мировоззрение опирается на непосредственный жизненный опыт человека – и в этом его сила, но оно мало использует опыт других людей, опыт науки и культуры, опыт религиозного сознания как элемента мировой культуры – ив этом его слабость.

Религиозное мировоззрение – мировоззрение, основой которого являются религиозные учения, содержащиеся в таких памятниках мировой духовной культуры, как Библия, Коран, священные книги буддистов, Талмуд, и ряде других. Напомним, в религии содержится определенная картина мира, учение о предназначении человека, нравственные заповеди, направленные на воспитание у него определенного образа жизни, на спасение души. Религиозное мировоззрение также имеет сильные и слабые стороны. К его сильным сторонам можно отнести тесную связь с мировым культурным наследием, ориентацию на решение проблем, связанных с духовными потребностями человека, стремление дать человеку веру в возможность достижения поставленных целей.

Слабая сторона религиозного мировоззрения – проявляющаяся иногда непримиримость к другим жизненным позициям. Большую опасность, особенно в современных условиях, представляет фундаментализм – религиозный экстремизм, фанатизм. Об опасности фанатизма, «перенесения религиозной веры на другие сферы», предупреждали русские религиозные мыслители. Н. А. Бердяев писал: «…фанатика порабощает идея, в которую он верит, она суживает его сознание, вытесняет очень важные человеческие состояния; он перестает внутренне владеть собой». Религиозному мировоззрению иногда свойственно недостаточное внимание к достижениям науки, а подчас и их игнорирование. Правда, в последнее время многие богословы высказывают мысль о том, что перед теологией стоит задача выработки нового пути мышления, учитывающего достижения науки.

Научное мировоззрение является законным наследником того направления мировой философской мысли, которое в своем развитии постоянно опиралось на достижения науки. Оно включает в себя научную картину мира, обобщенные итоги достижений человеческого познания, принципы взаимоотношений человека с естественной и искусственной средой обитания.

Но научное мировоззрение также имеет достоинства и недостатки. К его достоинствам относятся прочная научная обоснованность, реальность содержащихся в нем целей и идеалов, органическая связь с производственной и социальной деятельностью людей. Однако нельзя закрывать глаза и на то, что изучение духовного мира человека еще не заняло в науке подобающего ему места. Человек, человечество, человечность – это поистине глобальная проблема настоящего и будущего. Разработка данной триады – задача неисчерпаемая, но ее неисчерпаемость требует не отстранения, а настойчивости в ее решении. Это и является доминантой современного научного поиска, призванного обогащать мировоззрение.

Поворот науки к проблеме человека может стать решающим «облагораживающим» фактором для всех типов мировоззрения, главной общей чертой которых станет гуманистическая направленность. Она ставит во главу угла высшие ценности: жизнь индивида, его права и свободы. Человек с таким мировоззрением обладает широтой взглядов на мир, признает равноправие различных мировоззренческих ориентации, культур, ценит и дорожит взаимопониманием людей, их физическим и нравственным здоровьем, уважает и защищает достоинства человека, его созидательный труд и благосостояние, соблюдает добрососедские отношения между людьми, различными социальными группами, народами, странами. В сферу высших ценностей, кроме общечеловеческих, входят и ценности общенациональные (применительно к нашей стране – общероссийские), этнокультурные, ориентирующие на заботу о детях и родителях, развитие образования и здравоохранения, пенсионное обеспечение, неприкосновенность жилища.

Какую же роль играет мировоззрение в деятельности людей?

Во-первых, мировоззрение дает человеку ориентиры и цели для всей его практической и теоретической деятельности. Во-вторых, мировоззрение через свою философскую сердцевину позволяет людям понять, как лучше достичь намеченных ориентиров и целей, вооружает их методами познания и деятельности. Уподобляя метод фонарю, который освещает дорогу путнику, великий философ прошлого Р. Декарт (1596–1650) говорил, что хромой с фонарем быстрее достигнет цели, чем всадник, блуждающий в темноте. В-третьих, на основании содержащихся в мировоззрении ценностных ориентации человек получает возможность определять истинные ценности жизни и культуры, отличать действительно важное для деятельности человека в достижении им поставленных целей от того, что реального значения не имеет, носит ложный или иллюзорный характер. Именно в мировоззрении содержится понимание человеком мира и тенденций его развития, человеческих возможностей и смысла деятельности, добра и зла, красоты и безобразия.

В научных трудах отмечается, что через всю историю философии проходит мысль о трех основных аспектах духовной жизни человека. Немецкий философ Л. Фейербах назвал их сердцем, разумом и волей. В мировоззрении личности ценности выражают линию сердца, знания – линию разума. Но только воля делает мировоззрение реальным, связывает его с жизнью, переводит в план поведения. Такой перевод осуществляется посредством установки – состояния готовности к определенного типа деятельности, к поступку. Современный русский ученый В. Н. Сагатовский, обращаясь к студентам, пишет: «…ценности определяют твой выбор, знание обосновывает его. Но готов ли ты на деле следовать выбору, сделанному в душе? Если не готов, то мировоззрение твое – в лучшем случае умственная игра или приятные мечтания, а в худшем – мимикрия, годная для сдачи экзамена или официального выступления, но не для жизни в целом».

В жизни тесно связаны между собой понятия «воля» и «ответственность». Благодаря воле мировоззрение непосредственно влияет на поведение в реальных жизненных ситуациях.

Важным регулятором социального поведения является ответственность – качество развитой личности. Как писал Булат Окуджава, «…чувство ответственности не присуще унылой посредственности».

 30.11.2022

Группа 508

Предмет: Обществознание 

Тема урока: Мировоззрение и его типы 

Цель урока: изучить данную тему, составить конспект урока 

Мировоззрение – это целостное представление о природе, обществе, человеке, находящее выражение в системе ценностей и идеалов личности, социальной группы, общества.

Мировоззрение – это система взглядов человека на окружающий мир и его место в нем.

 Структура мировоззрения:

• знания,
• духовные ценности,
• принципы,
• идеалы,
• убеждения.

Формы мировоззрения.

• Мироощущение – это ощущения человека в событиях собственной жизни, его чувства, мысли, настроения и действия.
• Мировосприятие – это видение мира дружественным или враждебным.
• Миропонимание – это образы окружающей жизни, сформировавшиеся в сознании человека.

 Пути формирования мировоззрения:

• стихийный,
• осознанный.

Факторы, влияющие на формирование мировоззрения:

• окружение человека, социальная среда;
• социальные условия и государственное устройство.

Виды мировоззрения.

• Обыденное мировоззрение. Формируется в повседневной жизни, основано на личном житейском опыте человека и опирается на здравый смысл. Оно конкретно, доступно, просто, дает четкие и понятные ответы на по­вседневные вопросы.
• Религиозное мировоззрение. В его основе – вера в сверхъестественное, в Бога. Религиозный человек стремится действовать и поступать так, как того требует религия. Он совершает культовые действия (молитва, жертвоприношение) и нацелен на духовно-нравственное совершенство. Оно целостно, от­вечает на духовные вопросы, вопросы о смысле жизни.
• Мифологическое мировоззрение. Основано на вере в мифы, в которых неосознанно подменяется реальность вымышленным содержанием. Основана не на теоретических доводах и рассуждениях, а на художественном переживании мира.
• Научное мировоззрение. В его основе – научная картина мира, законы и закономерности природы, общества и сознания. Отрицается всё непризнанное наукой. Основано на рационально обработанном опыте. Оно доказательно, четко и строго, но не решает жизненные проблемы чело­века.
• Философское мировоззрение. Основано на разуме, обращенном к самому себе. Оно доказательно, обоснованно, целостно, но труднодоступно.
• Атеистическое мировоззрение. Основано на полном отрицании возможности существование бога, любых мистических и потусторонних сил.

В человеке сочетаются все перечисленные формы, но одно из них занимает ведущее положение. 

 Классификация мировоззрения по эмоциональной окраске:

• оптимистическое,
• пессимистическое.

 Гуманистическое мировоззрение — признание ценности каждого человека на земле, основано на любви к людям, уважении их.

Человеконенавистническое мировоззрение — основано на презрении к другим людям, народам, пропаганде национальной исключительности.

Революционное — в его основе лежит отстаивание резких, кардинальных преобразований в обществе.

Консервативное – основано на недоверии к преобразованиям в обществе, предпочтении всего устоявшегося.

Уровни мировоззрения:

• обыденно — практическое (или повседневное) мировоззрение – складывается в повседневной жизни, связан с эмоционально — психологической стороной мировоззрения и соответствует чувственному постижению мира; источники – чувства и эмоции;
• рациональное (или теоретическое) – возникает в результате рационального осмысления мира, связан с познавательно — интеллектуальной стороной мировоззрения и наличием у человека понятийного аппарата; источники – разум и рассудок.

Роль мировоззрения в жизни человека.

• даёт ориентиры и цели в жизни,
• показывает методы познания и деятельности,
• формирует истинные ценности жизни и культуры.

                                                               Группа 401 "Математика"

30.11.2022

Тема занятия: "Производная второго порядка"

Возрастание функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Выпуклость вверх. Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Выпуклость вниз. Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производная второго порядка (вторая производная). Производная второго порядка есть первая производная от производной первого порядка.

Производную определяют, как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел существует.

Точка максимума функции. Точку  х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х0называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка перегиба. Точки, в которых выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз или наоборот, называются точками перегиба.

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Алгоритм нахождения интервалов выпуклости графика функции:

1. Найти область определения функции
2. Найти вторую производную функции
3. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует
4. Найти интервалы, на которые область определения функции разбивается этими точками
5. Определить знаки второй производной на каждом интервале
6. Если f '‘(х) < 0, то кривая выпукла вверх;

если f '‘(х) > 0 то кривая выпукла вниз.

1. Точки, в которых вторая производная меняет знак, - точки перегиба.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .

Решение:

1. Область определения данной функции D(y) = (-∞; +∞)
2. Найдем вторую производную функции: 
3.  при х = 1, х = -1
4. Определим знаки второй производной на каждом интервале (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞), используя метод интервалов (рис. 1).

Рисунок 1 – интервалы на числовой прямой

1. Так как на интервалах (-∞; -1) и (1; +∞) вторая производная положительна, то на этих интервалах функция выпукла вниз.

Так как на интервале (-1; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точки х = 1 и х = -1 вторая производная меняет знак, то эти точки являются точками перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервалах (-∞; -1), (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1, х = -1 – точки перегиба.

Пример 2.Найти точки перегиба функции у=sinх

Решение:

Найдем вторую производную заданной функции

У'=соsх

У"= -sinх

Приравняем её к нулю и найдем корни полученного уравнения -sinх=0

В промежутках 

Функция у=sinх принимает положительные значения, следовательно, У"= -sinх <0, а в промежутках , sinх <0, следовательно

У" >0. Значит, в точках  вторая производная меняет знак и в этих точках график функции у=sinх имеет перегиб

Ответ: точка перегиба

Пример 3.Точка движется по закону S(t) = 3t4 – 8t3 + 2t – 3. В какой момент времени ускорение точки будет равно 48?

Решение:

Ускорение - это вторая производная s(t).

Найдем уравнение ускорения.

v=S'(t) = 12t3 – 24t2 + 2

a= S''(t) = 36t2 – 48t

Остается подставить вместо ускорения его значение равное 48 и решить уравнение.

36t2 – 48t=48

36t2 – 48t-48=0

При решении один корень получается отрицательный, чего не может быть по условиям задачи, а второй корень равен 2

Ответ: 2

Пример 4. Найдите интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз и точки перегиба функции f(x) = x3 – 6xlnx.

Проверьте свое решение.

Решение:

1. D(f) = (0; +∞)
2. f (x) = (x3 – 6xln x)

1. f (x) = 0 при х = 1, х = -1.

f (x) не существует при х = 0.

С учетом области определения функции, х = 1

1. Так как на интервале (1; +∞) вторая производная положительна, то на этом интервале функция выпукла вниз.

Так как на интервале (0; 1) вторая производная отрицательна, то на этом интервале функция выпукла вверх.

Так как при переходе через точку х = 1 вторая производная меняет знак, то эта точка является точкой перегиба.

Ответ: функция выпукла вниз на интервале (1; +∞);

функция выпукла вверх на интервале (-1; 1);

х = 1– точка перегиба.

Выполнить упражнения по учебнику:  "Алгебра 10-11 класс" 

№953,954 стр 287

                                                             Группа 401 "Математика"

Тема занятия: "Решение задач по теме: Производная и её геометрическая прогрессия"

Выполнить упражнения по учебнику:  "Алгебра 10-11 класс" 

№859(2,4,6,8), 870(1,3,5),873(2,4), 876(1,3), 877(2,4)

                                                             Группа 401"Математика"

Тема занятия: "Геометрический смысл производной"

Рис. 1. График функции .

Рассмотрим функцию , ее график и дадим физическую интерпретацию.

Построим систему координат и кривую  (см. рис.1), где

 независимая переменная или аргумент (время),

 – зависимая переменная или функция (расстояние),

 – закон или правило, по которому каждому значению  ставится в соответствие только одно значение .

Зафиксируем момент времени  (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по заданному закону  , т.е. имеем точку . Эта точка показывает, что в данный момент времени , расстояние -  . Дадим аргументу приращение , т.е. прошло некоторое время . Момент времени, который будет рассматриваться  - это  .

Рис. 2. Секущая к графику функции .

 – приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.

Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) - . Это расстояние можно вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась точка . В результате получилась секущая , которая наклонена к оси   под углом .

 – секущая,  – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси .

Рассмотрим треугольник  (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол -  угол  наклона секущей. Один из катетов - это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.

Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента.

Величина  называется  – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени

.

2. Физический смысл отношения ∆f/∆x

Рассмотрим отношение  , где  – приращение функции,  – приращение аргумента (см. рис.4).

Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость . В этом заключается физический смысл отношения  .

Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения   .

С другой стороны отношение катета  к катету  – это тангенс угла  – тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения   – это тангенс угла наклона секущей  .

3. Определение производной

Пусть . Понятно, что и . Точка  будет стремиться к точке , а положение секущей  будет стремиться занять положение касательной в точке  к кривой   (см. рис.4). Имеем

Зафиксируем эту касательную,  – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать точку , то отношение   зависит только от величины .

Если отношение    при  стремится к какому-то числу, то это число называется производной функции  в точке  и обозначается .

Определение. Производной функции  в точке  называется число, к которому стремится разностное соотношение    при .

Определение производной с помощью пределов.

Предел при  разностного отношения  , если он существует, называется производной функции в точке  и обозначается .

4. Геометрический и физический смысл производной

, где  – мгновенная скорость в момент . В этом заключается физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона касательной , где  - угол наклона касательной к кривой  в точке с абсциссой .

5. Алгоритм нахождения производной

Для того чтобы найти  нужно:

1) Задать приращение  – это приращение аргумента и вычислить соответствующее приращение функции  или .

2) Найти разностное соотношение  , упростить его и сократить на  .

3) Если отношение   при  стремится к какому-то числу, то это число будет .

Выполнить упражнения по учебнику:  "Алгебра 10-11 класс" 

№858, 859, 860 стр 255