Группа 206 "Математика" 

Тема: "Начала математического анализа" 

Тема урока: "Последовательности. Способы заданий. Свойства числовых последовательностей"

Числовая последовательность – это числовая функция (), которая определена на множестве натуральных чисел ().

Областью определения является множество натуральных чисел ().

Обозначают члены последовательности так:

; ; ;…; 

Числовая последовательность – это частный случай функции. Как и любая функция, последовательность может задаваться различными способами.

Способы задания числовой последовательности:

1. Аналитический (при помощи формулы)

2. Словесный

3. Рекуррентный

Аналитический способ задания числовой последовательности

Последовательность задана аналитически, если указана формула для вычисления ее -го члена.

, где 

Рассмотрим примеры:

1. ,

Это аналитическое задание последовательности чисел: ; ; ;…; ;… Указав конкретное значение , нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером.

Построим график данной последовательности. Согласно определению графика функции, графиком данной последовательности является множество всех точек , где  (см. Рис. 1). Все эти точки лежат на правой ветви гиперболы .

Рис. 1. График числовой последовательности 

Функция  при  убывает, следовательно, числовая последовательность  также убывает.

2. 

Выпишем несколько членов данной числовой последовательности:

; ; ;…

График данной последовательности – это множество точек с координатами , где  (см. Рис. 2). Все эти точки лежат на ломаной .

Рис. 2. График числовой последовательности 

Числовая последовательность  убывает при , возрастает при .

Словесный способ задания числовой последовательности

Словесный способ задания числовой последовательности используется, когда правило задания последовательности описано словами, не указывая формулы.

Пример

Дано:  – это -я цифра после запятой в десятичной записи числа .

 

; ; ; ; ;…

Рекуррентный способ задания числовой последовательности

Последовательность задана рекуррентно, если указано правило, по которому -й член вычисляется по предыдущим членам.

Пример

; ; , где  

В данном примере задана возможность получения любого -го члена последовательности:

; ; ; ; ;…

Задача 1

В числовой последовательности ; ; , где  найти 7 член.

Решение

Для того чтобы найти 7 член данной последовательности, необходимо знать 5 и 6 член. В предыдущем примере мы нашли 3, 4 и 5 член, следовательно, можно найти 6, а далее и 7 член.

; ; ;  

Ответ: 

Задача 2

Дано:

Найти: является ли число  некоторым членом заданной последовательности?

Решение

Приравниваем формулу для -го члена последовательности  к числу , получим уравнение относительно . Если  будет натуральным числом, то число  является членом заданной последовательности.

 

 

 

Следовательно: 

Ответ: число  является 5 членом заданной последовательности.

Задача 3

Укажите формулу общего члена последовательности, которая задана несколькими членами: 1; 4; 9; 16; 25.

Решение

Запишем каждый член последовательности в следующем виде:

 

 

 

 

 

Видно, что члены последовательности представляют собой квадраты последовательных натуральных чисел. Таким образом, делаем вывод, что:

, где 

Ответ:, где .

Домашнее задание: 

1. Дано:

Найти: 

2.  Проверить, являются ли числа  и  членами последовательности 

3. Укажите формулу общего члена последовательности, которая задана несколькими членами: 2; 9; 16; 25; 36.