Группа 308 "Математика" 

Тема: "Развитие понятия о числе" 

Тема урока: "Многочлен от одной переменной. Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком. Число корней многочлена"

Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором каждый член — одночлен стандартного вида и многочлен не содержит подобных членов.

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Если целое число является корнем этого многочлена, то оно является делителем числа 16. Таким образом, если у данного многочлена есть целые корни, то это могут быть только числа ±1; ±2; ±4; ±8; ±16.

Рассмотрим многочлены

7х²-6х-2

-9х³+2х²-3х

х⁵+6

Эти многочлены записаны в стандартном виде.

Давайте вспомним, что такое многочлен стандартного вида.

Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором каждый член — одночлен стандартного вида и многочлен не содержит подобных членов.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно:

1. каждый член многочлена представить в стандартном виде
2. привести подобные члены многочлена.

Пример 1

Привести многочлен к стандартному виду 3а·5в+3ав+2а·(-4в)+в·в

Воспользуемся алгоритмом, который мы рассмотрели:

1. каждый член многочлена представляем в стандартном виде, т.е. выполним действия умножения, получим:

15ав+3ав-8ав+в²

1. Приведем подобные, получим:

в²+10ав

Обычно многочлен записывают по убывающим степеням переменной, т.е. степени переменной постепенно уменьшаются.

Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида- в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.

Многочлен от одной переменной обозначается следующим образом: Р(х).

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

Пример 2

Р(х)=х³+2х²-7х-2

Корнем данного многочлена будет число 2, т.к.

Р(2)=2³+2·2²-7·2-2=0.

Многочлены можно складывать, вычитать, умножать и возводить в степень. Иногда выполнимо деление многочлена на многочлен. А именно, если существует такой многочлен S(x), что P(x)=Q(x)·S(x), то говорят, что много член Р(х) делится на многочлен Q(x) и называют Р(х)- делимым, Q(x)- делителем, S(x)- частным.

Пример 3

Р(х)=х³-3х²+5х-15 делится на Q(x)= х²+5, т.к. Р(х) можно разложить на множители

х³-3х²+5х-15= (х²+5)(х-3)

Частным является S(x)=х-3.

Если же многочлен Р(х) не делится на многочлен Q(x), то рассматривают деление с остатком.

Свойство: для любых двух многочленов Р(х) и Q(x) таких, что степень Р(х) не меньше степени Q(x), существует одна и только одна пара многочленов S(x) и R(x) таких, что справедливо тождество

Р(х)=Q(x)·S(x)+R(x),

Причем степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x). (многочлен R(x) называют остатком).

При делении многочленов стандартного вида используют правило деления «углом», аналогичное правилу деления многозначных чисел.

Пример 4

Разделим Р(х)= 3х⁴+2х³+70х²+3х-4 на Q(x)= x²+5x+1.

Выполним деление «углом»:

Итак, S(x)=3x²-13x+132- частное, R(x)= -644х-136- остаток.

При этом выполняется тождество

3х⁴+2х³+70х²+3х-4= (х²+5х+1)·(3х²-13х+132)+(-644х-136).

Домашнее задание: 

1. Привести многочлен к стандартному виду 4а·5в+4ав+3а·(-4в)+в·в

2. Разделите 3х^4-х^3+4х^2-5х-5 на многочлен х^2-2х+2