Группа 103 "Математика"

Тема: "Многогранники" 

Тема урока: "Правильная призма. Параллелепипед. Куб" 

Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещающихся параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (рис.38)

Рис.38 KLMNP, ABCDE – основания призмы, АК, ЕР, СМ, … - ребра, KR- высота  Свойства призмы:  1. Основания призмы равны и параллельны.  2. Боковые ребра равны и параллельны.  3. Боковые грани — параллелограммы    Различают прямые и наклонные призмы

Прямая призма - это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям (рис.39)

Рис.39

Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник. У такой призмы все боковые грани — равные прямоугольники. У такой призмы все боковые грани — равные прямоугольники.

По виду основания призмы различают треугольные, четырехугольные, п-угольные призмы.

                                                              Параллелепипед  

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.

Сформулируем определение прямоугольного параллелепипеда.

1. Через прямой параллелепипед: Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, у которого в основании прямоугольник

2. Через параллелепипед: Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, который является прямым, а в основании лежит прямоугольник

3. Через призму: Прямоугольный параллелепипед – это четырехугольная призма, которая является прямой, в основании которой лежит прямоугольник.

1.  У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

Дано: ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, основание - параллелограмм

Доказать: ADD1A1=CBB1C1, ADD1A1||CBB1C1

Предложить провести доказательство учащимся. Если есть варианты доказательств, то заслушать их. Если полных версий нет, то проводится беседа, после чего излагается полное доказательство.

Доказательство: Рассмотрим две противолежащие грани параллелепипеда. Так как все грани параллелограммы, то AD||BC, AA1||DD1, следовательно, плоскости граней параллельны. Так как грани параллелограммы, то AB, A1B1, D1C1, DC параллельны и равны, значит грани равны.

2.Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Предложить провести доказательство учащимся. Если есть варианты доказательств, то заслушать их. Если полных версий нет, то проводится беседа, после чего излагается полное доказательство.

Учащиеся делаются рисунок в тетради, один ученик выходит к доске. Ученики строят параллелепипед. Далее проводятся две пересекающиеся диагонали параллелепипеда. Раз прямые пересеклись, значит, они задают плоскость (две пересекающиеся прямые задают плоскость). Достраиваем рисунок до сечения. В сечении получился параллелограмм. А в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

                                                                             КУБ    

Куб – это такой прямоугольный параллелепипед, в котором все рёбра равны между собой. Обратите внимание, что рёбра куба, которые не видны, мы изображаем пунктирными линиями. Это позволяет получить полное представление о фигуре и её расположении по отношению к нам.

Все грани куба – равные между собой квадраты. Поверхность куба состоит из 6 равных квадратов. Посмотрите, что грани, расположенные друг против друга, не имеют общих рёбер. Эти грани называются противоположными.

Грани, которые имеют общее ребро, называются смежными.

Домашнее задание: 

1) Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

   2)  Сторона куба равна 10см, найти диагональ куба.

   3) Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны 185, 185 и 37; а ребра другого равны 185,37 и 37. Во сколько раз объем первого параллелепипеда больше объема второго параллелепипеда?