Группа 205 "Математика"

Тема:  "Производная" 

Тема урока: "Вторая производная, её геометрический и физический смысл" 

Вторая производная f" (x) имеет также важное значение в анализе и в геометрии; в самом деле, представляя собой скорость изменения наклона f (х) кривой y = f (x), вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая. Если в некотором промежутке вторая производная больше нуля, то скорость изменения наклона f' (х) положительна. Положительный знак скорости изменения некоторой функции указывает на то, что эта функция возрастает с возрастанием аргумента х. Следовательно, неравенство f" (х) > 0 указывает на то, что наклон f (x) есть возрастающая функция х и, значит, при увеличении х кривая становится более крутой там, где наклон ее положителен, и более пологой там, где наклон отрицателен. Условимся говорить, что в этом случае кривая вогнута (рис. 270). Аналогично если f" (х) <0, то будем говорить, что кривая y = f (х)выпукла (рис. 271).

Рис. 270-271. Вогнутость и выпуклость кривой

Парабола y = f (х) = х² всюду вогнута, так как ее вторая производная (f" (х) = 2) всегда положительна. Кривая y = f (х) = x³ вогнута при х>0 и выпукла при х<0 (рис. 153); это видно по ее второй производной f" (х) = 6х, в чем читатель может легко убедиться сам. Между прочим, при х = 0 имеем f' (х) = 3х² = 0 (но нет ни минимума, ни максимума!), а также и f" (х) = 0 при х = 0. Эта точка называется тезкой перегиба. В точках, которые так называются, касательная (в данном случае ось х) пересекает кривую.

Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0  называется число, к которому стремится разностное отношение , стремящемся к нулю.

                                           Производные элементарных функций.

                                                      

                                                   Правила дифференцирования

Если у функций  f(x) и  g(x) существуют производные, то

                                                  Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 :

Физический смысл производной.

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону  x(t), то мгновенная скорость точки:

Задание №1

Задание №2

Домашнее задание: 

1. .На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

  2.  Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции f(x)=6x 2 -x 3 .

  3.