Группа 103 "Математика"

Тема: "Многогранники" 

Тема урока: "Правильная пирамида, её поверхность" 

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина которой проецируется в центр основания, называется правильной пирамидой.

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

 

Правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, называется тетраэдром.

Все грани тетраэдра — равные равносторонние треугольники.

 

 

Правильная треугольная пирамида

  

Основание правильной треугольной пирамиды — равносторонний треугольник.

Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения медиан.

Запомни:

BN:NK=2:1,

KD — апофема,

∢ NKD и ∢ NLD — двугранные углы при основании пирамиды,

∢ DCN и ∢ DBN — углы между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

 

Правильная четырёхугольная пирамида

  

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат.

Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).

ML — апофема,

∢ MLO — двугранный угол при основании пирамиды,

∢ MCO — угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

 

Правильная шестиугольная пирамида

  

Основание правильной шестиугольной пирамиды — правильный шестиугольник.

Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания (шестиугольника).

SE=h — апофема,

∢ OES — двугранный угол при основании пирамиды.

 

Для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды существуют две формулы:

Sб=12Pоснования⋅hиSб=Sоснованияcosϕ, где P — периметр основания, h — апофема, ϕ — двугранный угол при основании.

 

Объём пирамиды V= 13Sосн⋅H, где H — высота пирамиды.

                                                                             Задача

Дана пирамида SABCD, вершиной которой является точка S, в основании лежит ромб, а высота SO пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол ASO равен углу SBO, а диагонали основания равны 6 и 24.

                                                                                      

                                                                                      Решение:

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то AO=12, BO=3. Заметим, что так как SO – высота пирамиды, то △ASO и △BSO – прямоугольные. Так как у них есть равные острые углы, то они подобны. Пусть SO=h, тогда из подобия имеем:

Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем пирамиды равен 

Домашнее задание: 

1. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а апофема 6,5. Найдите периметр основания этой пирамиды

2. Объём правильной четырехугольной пирамиды 48, высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды