Группа 306 "Математика"

Тема занятия: "Выпуклость графика функции"

При исследовании функции и построении ее графика на одном из этапов мы определяем точки перегиба и интервалы выпуклости. Эти данные вместе с промежутками возрастания и убывания позволяют схематично представить график исследуемой функции.

Дальнейшее изложение подразумевает, что Вы умеете находить производные функции до некоторого порядка и решать неравенства разных видов.

Изучение материала начнем с необходимых определений и понятий. Далее озвучим связь между значением второй производной функции на некотором интервале и направлением ее выпуклости. После этого перейдем к условиям, которые позволяют определять точки перегиба графика функции. По тексту будем приводить характерные примеры с подробными решениями.

Навигация по странице.

• Выпуклость, вогнутость функции, точка перегиба.
• Нахождение интервалов выпуклости функции.
• Необходимое и достаточные условия перегиба.

Выпуклость, вогнутость функции, точка перегиба.

Определение.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Определение.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.

Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения.

Определение.

Точка  называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.

Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.

Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной.

На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.

Нахождение интервалов выпуклости функции.

Сформулируем теорему, которая позволяет определять промежутки выпуклости функции.

Теорема.

Если функция y=f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство  (), то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х.

Эта теорема позволяет находитьть промежутки вогнутости и выпуклости функции, нужно лишь на области определения исходной функции решить неравенства  и  соответственно.

Следует отметить, что точки, в которых функция y=f(x) определена, а вторая производная не существует, будем включать в интервалы вогнутости и выпуклости.

Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выяснить промежутки, на которых график функции  имеет выпуклость направленную вверх и выпуклость направленную вниз.

Решение.

Область определения функции  - это все множество действительных чисел.

Найдем вторую производную.

Область определения второй производной совпадает с областью определения исходной функции, поэтому, чтобы выяснить интервалы вогнутости и выпуклости, достаточно решить  и  соответственно.

Следовательно, функция выпуклая вниз на интервале  и выпуклая вверх на интервале .

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом.

Сейчас рассмотрим пример, когда область определения второй производной не совпадает с областью определения функции. В этом случае, как мы уже отмечали, точки области определения, в которых не существует конечная вторая производная, следует включать в интервалы выпуклости и (или) вогнутости.

Пример.

Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции .

Решение.

Начнем с области определения функции:

Найдем вторую производную:

Областью определения второй производной является множество . Как видите, x=0 принадлежит области определения исходной функции, но не принадлежит области определения второй производной. Не забывайте про эту точку, ее нужно будет включить в интервал выпуклости и (или) вогнутости.

Теперь решаем неравенства  и  на области определения исходной функции. Применим метод интервалов. Числитель выражения  обращается в ноль при  или , знаменатель – при x = 0 или x = 1. Схематично наносим эти точки на числовую прямую и выясняем знак выражения на каждом из интервалов, входящих в область определения исходной функции (она показана заштрихованной областью на нижней числовой прямой). При положительном значении ставим знак «плюс», при отрицательном – знак «минус».

Таким образом,

и

Следовательно, включив точку x=0, получаем ответ.

При  график функции имеет выпуклость направленную вниз, при  - выпуклость направленную вверх.

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, черной пунктирной прямой является вертикальная асимптота.

К началу страницы

Необходимое и достаточные условия перегиба.

Необходимое условие перегиба.

Сформулируем необходимое условие перегиба графика функции.

Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке  и имеет при  непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство .

Из этого условия следует, что абсциссы точек перегиба следует искать среди тех, в которых вторая производная функции обращается в ноль. НО, это условие не является достаточным, то есть не все значения , в которых вторая производная равна нулю, являются абсциссами точек перегиба.

Еще следует обратить внимание, что по определению точки перегиба требуется существование касательной прямой, можно и вертикальной. Что это означает? А означает это следующее: абсциссами точек перегиба могут быть все  из области определения функции, для которых  и . Обычно это точки, в которых знаменатель первой производной обращается в ноль.

Первое достаточное условие перегиба.

После того как найдены все , которые могут быть абсциссами точек перегиба, следует воспользоваться первым достаточным условием перегиба графика функции.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то  является точкой перегиба графика функции.

Как видите первое достаточное условие не требует существования второй производной в самой точке , но требует ее существование в окрестности точки .

Сейчас обобщим всю информацию в виде алгоритма.

Алгоритм нахождения точек перегиба функции.

Находим все абсциссы  возможных точек перегиба графика функции ( или  и ) и выясняем, проходя через какие  вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки  будут точками перегиба графика функции.

Рассмотрим два примера нахождения точек перегиба для разъяснения.

Пример.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел.

Найдем первую производную:

Областью определения первой производной также является все множество действительных чисел, поэтому равенства  и  не выполняется ни для каких .

Найдем вторую производную:

Выясним при каких значениях аргумента x вторая производная обращается в ноль:

Таким образом, абсциссами возможных точек перегиба являются x=-2 и x=3.

Теперь осталось проверить по достаточному признаку перегиба, в каких из этих точек вторая производная меняет знак. Для этого нанесем точки x=-2 и x=3 на числовую ось и, как в обобщенном методе интервалов, расставим знаки второй производной над каждым промежутком. Под каждым интервалом схематично дугами показано направление выпуклости графика функции.

Вторая производная меняет знак с плюса на минус, проходя через точку x=-2 слева направо, и меняет знак с минуса на плюс, проходя через x=3. Следовательно, и x=-2 и x=3 являются абсциссами точек перегиба графика функции. Им соответствуют точки графика  и .

Взглянув еще раз на числовую ось и знаки второй производной на ее промежутках, можно делать вывод об интервалах выпуклости и вогнутости. График функции выпуклый на интервале  и вогнутый на интервалах  и .

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервалах вогнутости – красным цветом, точки перегиба показаны черными точками.

Домашнее задание: 

Учебник:  "Алгебра 10-11 класс" 

Решить: №953, 954 стр 287

y(x)=x44