Группа 401 "Математика"

Тема занятия: "Вычисление углов между прямыми и векторами"

Рассмотрим конкретные примеры нахождения угла между векторами.

Пример: Дан равносторонний треугольник АВС. Найти:

а)  ;

б)  

в)  .

Решение:

а) Выбираем удобную точку и от нее откладываем вектора. Такая точка у нас уже есть – это точка А.

 по свойству углов равностороннего треугольника.

б)  Выбираем удобную точку, например, точку А. откладываем вектор  , тогда .

в) Угол между прямыми    как наименьший из углов, образованных при пересечении этих прямых.

Рассмотрим еще несколько примеров нахождения углов между векторами в равностороннем треугольнике АВС.

г)   ;

д)  ;

е)  

ж)  

Решение:

г) Векторы  и  противоположно направлены, поэтому 

д) Векторы  и   сонаправлены, 

е) Векторы  и  противонаправлены, 

ж) Векторы  и  сонаправлены, 

Скалярным произведением векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Поясним понятие скалярного произведения на физическом примере.

Сила  действует на вагонетку, вагонетка стоит на рельсах. Работа совершается не всей силой , а только ее частью – проекцией на ось  . Эта проекция равна  , таким образом  работа определяется формулой 

Итак, скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение – это характеристика взаимного расположения векторов.

Рассмотрим перпендикулярные векторы   и , угол между ними равен  , значит, 

ненулевые векторы.

Мы сформулировали два утверждения – прямое и обратное:

1. Прямое – если , то  .

2. Обратное – если  , то  .

                                                                 Домашнее задание:

                                                     Учебник: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №402, 403, 404 стр 108