Группа 401 "Математика"

09.11.2022

Тема занятия: "Правило параллелепипеда"

Основные понятия

Определение 1

Направленный вектор — это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом.

Обозначается следующим образом:

 

Коллинеарность векторов означает: ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор (вектор нулевой длины) является коллинеарным любому вектору.

Определение 2

Сонаправленные векторы — векторы, направленные в одну сторону.

Определение 3

Противонаправленные векторы — векторы, направленные в разные стороны.

 

Определение 4

Равные векторы — векторы, которые коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Формулировка компланарности векторов: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

Некомпланарный вектор не имеет равный ему вектор, лежащий в одной плоскости.

Складывать векторы можно несколькими способами. Мы рассмотрим сложение векторов методом параллелограмма.

Сложение векторов по правилу параллелограмма

Чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить эти векторы и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из этой точки, и будет суммой векторов.

На рисунке все наглядно проиллюстрировано.

сочетательный закон:

 

Из произвольной точки А отложим вектор , прибавим к нему вектор , получим их сумму . К этой сумме прибавим вектор , получим результат:

 

В правой части выражения мы сначала получили сумму векторов , после прибавили ее к вектору  и получили результат: 

Таким образом, мы провели доказательство сочетательного закона сложения векторов.

Когда векторы расположены в пространстве и они не компланарны, для их сложения применяется правило параллелепипеда.

Для начала проводят построение:

1. Векторы приводят к общему началу А.

    2. На этих трех ребрах строиться параллелепипед.

    3. Диагональ параллелепипеда, которая выходит из этой же точки, изображает суммы векторов 

Примеры решения задач

Пример 1

Определить вид четырехугольника ABCD, если:

 

 

Решение:

Данный четырехугольник — ромб. Обоснуем это.

Мы знаем, что векторы  и  равны, отсюда следует, что равны их модули — то есть длины отрезков.

Векторы по условию сонаправлены и коллинеарны, то есть принадлежат параллельным прямым. Таким образом, заданный четырехугольник — параллелограмм.

Данный факт обоснован признаком параллелограмма: если две стороны четырехугольника принадлежат параллельным прямым и длины их равны, то данный четырехугольник — параллелограмм.

Согласно второму условию: , соседние стороны параллелограмма равны друг другу, а такой параллелограмм является ромбом.

Пример 2

Дан параллелепипед . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: 

Решение:

Ответ: AC1

Домашнее задание: 

                                             Учебник: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №358, 359 стр 95