Группа 401 "Математика"

28.11.2022

Тема занятия: "Правила дифференцирования"

При вычислении производной используются следующие правила дифференцирования. Правило дифференцирования суммы двух функций.

Производная суммы равна сумме производных: (f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x).

Подробно это свойство производной формулируется так: Если каждая из функции f(x) и g(x) имеет производную, то их сумма также имеет производную и справедлива формула.

Производная суммы нескольких функции равна сумме производных этих функции:

(f(x) +…+ g(x))' = f '(x) +…+ g'(x).

Производная разности равна разности производных: (f(x) - g(x))' = f '(x) - g'(x).

А теперь рассмотрим пример применения данного правила дифференцирования.

Рассмотрим второе правило дифференцирования:

Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

(cf(x))'=cf ' (x)

Переходим к третьему правилу дифференцирования. Производная произведения равна произведению первого множителя на второй плюс первый множитель, умноженный на производную второго. (f(x)·g(x)) '=f' (x)·g(x)+f(x)·g' (x)

Четвертое правило дифференцирования: производная частного равна производной числителя умноженного на знаменатель минус числитель умноженный на производную знаменателя и все это деленное на квадрат знаменателя.

Сложная функция

Производная сложной функции находится по формуле:

(f(g(x))) '=f '(g(x))·g' (x)

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем производную функции: 

Решение:

производная суммы равна сумме производных. Найдем производную каждого слагаемого

Ответ: 

Пример 2.

Найти производную функции f(x)=8x3+3x2-x.

Решение:

f(x)=8x3+3x2-x

f’(x)=(8x3)’+(3x2)’-x’

Рассмотрим каждый член многочлена по отдельности

(8x3) '=8(x3) '=8·3x2=24x2

(3x2) '=3(x2) '=3·x=6x

(-x) '=-(x) = -1

f' (x)=(8x3) '+(3x2) '-x'=24x2+6x-1.

Ответ: f' (x)=24x2+6x-1.

Пример 3.

Найти производную функции f(x)=(3x-4)(4-5x).

Решение:

Воспользуемся формулой производной произведения:

f' (x)=(3х-4) ' (4-5х) + (3х-4)(4-5х) '=3(4-5х)-5(3х-4)=12-15х-15х+20= 32

Ответ: f' (x)=32

Пример 4.

Найти производную функции 

Решение:

Воспользуемся формулой производной частного:

Ответ: 

Пример 5.

Найти производную функции F(x)=(2x-1)2

Решение:

По правилу нахождения производной от сложной функции, получаем:

F' (x)=((2x-1)²) '·(2x-1)=2(2x-1)·2=4(2x-1)=8x-4.

Ответ: F' (x)=8x-4.

Выполнить упражнения по учебнику:  "Алгебра 10-11 класс" 

№802, 804, 806 стр 243