Группа 401 "Математика"
02.11.2022
Тема занятия: "Скалярное произведение векторов"
Сформулируем и докажем центральную теорему урока.
Теорема. Скалярное произведение векторов 
и 
выражается формулой
Доказательство.
1. При 
или 
теорема очевидна.
2. Пусть 
и 
– ненулевые векторы. Тогда по теореме косинусов
Перейдем в этой формуле к координатам.
Уточним, что теорема доказана для случая неколлинеарных векторов, в доказательстве был использован треугольник, теорема косинусов, поэтому случай коллинеарных векторов тоже рассмотрим, при этом учтем, что угол между коллинеарными векторами может быть равен 180° или 0°.
3. Пусть 
Подгоним это равенство под формулу, полученную при доказательстве теоремы.
Формула та же самая, если записать ее в координатах, то получим
4. Аналогично рассмотрим случай 
Вывод: 
для всех векторов и .
3. Следствия из теоремы
Сформулируем следствия из доказанной теоремы.
Следствие 1. Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда 
.
Действительно, 
.
Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами и выражается формулой:
Действительно, 
4. Свойства скалярного произведения векторов
Рассмотрим свойства скалярного произведения векторов.
Для любых векторов 
и любого числа k справедливы соотношения:
1. 
, причем 
при 
.
Доказательство.
Но 
при 
.
2. 
(переместительный закон).
Доказательство (из определения).
3. 
(распределительный закон).
Доказательство.
Для доказательства используем метод координат.
, тогда
.
4. 
(сочетательный закон).
Доказательство.
, значит,
Замечание. Распределительный закон справедлив и в случае нескольких слагаемых, например,
.
5. Задача на использование свойств скалярного произведения векторов
Задача. Вычислить скалярное произведение векторов 
и 
, если 
и 
.
Решение.
По свойствам скалярного произведения
Ответ: 13.
Комментариев нет:
Отправить комментарий