Сергей Александрович Лазарев

Группа 401"Математика"

Тема занятия: "Геометрический смысл производной"

График функции y=f(x)

Рис. 1. График функции .

Рассмотрим функцию , ее график и дадим физическую интерпретацию.

Построим систему координат и кривую (см. рис.1), где

независимая переменная или аргумент (время),

– зависимая переменная или функция (расстояние),

– закон или правило, по которому каждому значению ставится в соответствие только одно значение .

Зафиксируем момент времени (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по заданному закону , т.е. имеем точку . Эта точка показывает, что в данный момент времени , расстояние - . Дадим аргументу приращение , т.е. прошло некоторое время . Момент времени, который будет рассматриваться - это .

Секущая к графику функции y=f(x)

Рис. 2. Секущая к графику функции .

– приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.

Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) - . Это расстояние можно вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась точка . В результате получилась секущая , которая наклонена к оси под углом .

– секущая, – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси .

Рассмотрим треугольник (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол - угол наклона секущей. Один из катетов - это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.

Приращение функции и приращение аргумента.

Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента.

Величина называется – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени

2. Физический смысл отношения ∆f/∆x

Рассмотрим отношение , где – приращение функции, – приращение аргумента (см. рис.4).

Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость . В этом заключается физический смысл отношения .

Физический и геометрический смысл отношения

Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения .

С другой стороны отношение катета к катету – это тангенс угла – тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения – это тангенс угла наклона секущей .

3. Определение производной

Пусть . Понятно, что и . Точка будет стремиться к точке , а положение секущей будет стремиться занять положение касательной в точке к кривой (см. рис.4). Имеем

Зафиксируем эту касательную, – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать точку , то отношение зависит только от величины .

Если отношение при стремится к какому-то числу, то это число называется производной функции в точке и обозначается .

Определение. Производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное соотношение при .

Определение производной с помощью пределов.

Предел при разностного отношения , если он существует, называется производной функции в точке и обозначается .

4. Геометрический и физический смысл производной

, где – мгновенная скорость в момент . В этом заключается физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона касательной , где - угол наклона касательной к кривой в точке с абсциссой .