Группа 305 "Математика"

22.12.2022

Тема занятия: "Размещения"

Пусть имеется  n  различных объектов. Будем выбирать из них  m  объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из  n  объектов по  m.

Если в размещении переставить местами элементы, то получится другое размещение.

Размещениями называют различные комбинации из  m  объектов, которые выбраны из множества  n  различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком.

Количество размещений рассчитывается по формуле:

Или

Размещениями из  n  элементов по  m  (мест) называются такие выборки, которые имея по  m  элементов, выбранных из числа данных  n  элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из  n  по  m  обозначается

и определяется по формуле

Если вы уже знакомы с сочетаниями, то легко заметить, что чтобы найти размещения, надо взять все возможные сочетания, а потом в каждом ещё поменять порядок всеми возможными способами (то есть фактически сделать ещё перестановки). Поэтому число размещений ещё выражается через число сочетаний так:

Получилась такая формула, объединяющая три формулы комбинаторики (три концепции: размещений, сочетаний и перестановок).

Вычислим

т. е. число размещений из  n  по  n.

Таким образом:

Ничего удивительного в том, что число размещений из  n  по  n  оказалось равным числу перестановок  n  элементов, так как мы использовали для составления размещений всё множество элементов, а значит, они уже не могут отличаться друг от друга составом элементов, только порядком их расположения, а это и есть перестановки.

Схема для решения комбинаторных задач на размещения.

Перед решением задачи на вычисление этого вида сочетаний предлагается схема способствующая правильному выявлению вида сочетания согласно условию задачи. При этом учитываются характеристические свойства каждого вида сочетаний.

Как видно из схемы, выбор формулы зависит от того, будут ли все элементы использоваться в формировании сочетаний или нет, и важен ли их порядок. Применяя такую схему, всегда можно проанализировать условие задачи и ответить на эти два главных вопроса.

Размещения из  n  элементов по  2.

Число всех выборов двух элементов из  n  с учётом их порядка, называется числом их размещений из  n  элементов по  2.

Пример всех размещений из  n = 3  объектов (различных фруктов) в группы по  m = 2  с учётом порядка – на картинке.

Согласно формуле, их должно быть равно:

Число всех выборов  m  элементов из  n  данных с учётом их порядка называют числом размещений из  n  элементов по  m.

ЗАДАЧА:  

В студенческой группе  23  человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя ?

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ:  506. 

Размещения с повторениями.

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом:

Сколькими способами можно выбрать и разместить по  m  различным местам  m  из  n  предметов, среди которых есть одинаковые ?

Или по другому:

Из множества, состоящего из  n  элементов, выбирается  m  элементов, при этом важен порядок элементов в каждой выборке.

Формула количества размещений с повторениями:

Схема для решения комбинаторных задач на размещения с повторениями.

Перед решением задачи на вычисление этого вида сочетаний предлагается схема способствующая правильному выявлению вида сочетания согласно условию задачи. При этом учитываются характеристические свойства каждого вида сочетаний.

Как видно из схемы, выбор формулы зависит от того, будут ли все элементы использоваться в формировании сочетаний или нет, и важен ли их порядок. Применяя такую схему, всегда можно проанализировать условие задачи и ответить на эти два главных вопроса.

ЗАДАЧА:

У мальчика осталось от набора для настольной игры штампы с цифрами  1, 3  и  7. Он решил с помощью этх штампов нанести на все книги пятизначные номера – составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик ?

РЕШЕНИЕ:

Можно считать, что опыт состоит в  5-кратном выборе с возвращением одной из  3  цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из  3  элементов по  5.

ОТВЕТ:  243.

Выполнить упражнения по учебнику:  "Алгебра 10-11 класс" 

            №1072, 1073, 1074 стр 325