Группа 401 "Математика"

05.12.2022

Тема занятия: "Возрастание и убывание функции"

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции y = f(x)

1. Найти D(f)
2. Найти f‘(x).
3. Определить, при каких значениях хf‘(x) ≥ 0 (на этих промежутках функция возрастает); при каких значениях х f‘(x) ≤ 0 (на этих промежутках функция убывает))

1. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует неравенство f(x1) <f(x2)

2. Функция y = f(x), определенная на промежутке Х, называется убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел х1 и х2 из этого промежутка из неравенства х1< х2 следует неравенство f(x1) >f(x2)

Теоремы

1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≥ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),то функция y = f(x) возрастает на промежутке Х.
2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f‘(x) ≤ 0 (причем равенство f‘(x) = 0 либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек),то функция y = f(x) убывает на промежутке Х.

№1. Определите промежутки монотонности функции

у = -3х3 + 4х2 + х – 10.

Решение

1.Найдем область определения функции.

D(y) = 

2.Найдем производную функции.

y’ = (x – 1)(-9x – 1)

3.Определим, на каких промежутках производная положительна (на этих промежутках функция возрастает), на каких – отрицательна (на этих промежутках функция убывает).

Применим для этого метод интервалов. Для определения знака на каждом промежутке подставим произвольное значение из этого промежутка в выражение для производной.

Так как на интервале  производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как на интервале  производная функции положительна, то на этом интервале функция возрастает.

Так как на интервале  производная функции отрицательна, то на этом интервале функция убывает.

Так как в точках  функция непрерывна, то эти точки входят в промежутки возрастания и убывания данной функции.

Следовательно, функция возрастает на ; функция убывает на  и на .

Ответ: Функция возрастает на 

Функция убывает на  и на .

№2. Определите промежутки монотонности функции

у = х5–5х4 +5х3 – 4.

Решение:

1. 
2. 

y' =

1. Функция возрастает на ; функция убывает на .

Ответ: Функция возрастает на ;

функция убывает на .

Выполнить упражнения по учебнику:  "Алгебра 10-11 класс" 

№899, 900, 901 стр264