Группа 401 "Математика"

29.12.2022

Тема занятия: "Параллельность прямой и плоскости"

Аксиома А2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

Отсюда следуют три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости

1. Прямая лежит в плоскости (рис. 1).

Рис. 1

2. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то есть пересекаются (рис. 2).

Рис. 2

3. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки (рис. 3).

Рис. 3

Определение параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой а и плоскости α обозначается так: (рис. 4)

Рис. 4 Плоскость параллельная прямой

Примеры из жизни параллельности прямой и плоскости

Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода. В идеале, они параллельны плоскости земли (рис. 5).

Рис. 5

Другой пример дает линия пересечения стены и потолка (рис. 6). Эта линия параллельна плоскости пола. А пол - это плоскость параллельная прямой. Заметим, что в плоскости пола имеется прямая, параллельная этой линии. Такой прямой является, например, прямая пересечения пола с той же самой стеной. На рисунке указанные прямые обозначены как а и b.

Рис. 6

Оказывается, что если в плоскости α имеется прямая b, параллельная прямой а, не лежащей в плоскости α, то прямая а и плоскость α параллельны (рис. 7). Другими словами, наличие в плоскости α прямой b, параллельной прямой а, является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости α. Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Рис. 7

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) и ее доказательство

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство:

Рассмотрим плоскость α и две параллельные прямые а и b, прямая b лежит в плоскости α, а прямая а не лежит в этой плоскости (рис. 7). Докажем, что прямая а параллельна плоскости α.

Рис. 8

Предположим, это не так, то есть что прямая а пересекается с плоскостью α (рис. 8). Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми (лемма приведена ниже), прямая b тоже пересекается с плоскостью α. Но это невозможно, так как прямая b по условию лежит в плоскости α. Итак, прямая а не пересекает плоскость α, поэтому она параллельна плоскости. Теорема доказана.

Лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Докажем еще два утверждения, которые часто используются при решении задач.

Утверждение 1 и его доказательство

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

           

Рис. 9

Доказательство:

Итак, пусть через прямую а, параллельную плоскости α, проходит плоскость , пересекающая плоскость α по прямой b (рис. 9). Докажем, что прямые а и b параллельны.

Действительно, прямые а, b лежат в одной плоскости  и не пересекаются, ведь в противном случае прямая а пересекала бы плоскость α, что невозможно, так как по условию прямая а параллельна плоскости α. Значит прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Утверждение 2 и его доказательство

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Рис. 10

Рис. 11

Доказательство:

Пусть а и b – параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости α. Следовательно, прямая а не пересекает плоскость α. Тогда, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая b тоже не пересекает плоскость α. А это значит, что прямая b либо параллельна плоскости α (рис. 10), либо лежит в ней (рис. 11), что и требовалось доказать.

 

   Выполнить задания по учебнику  "Геометрия 10-11 класс" 

                                   №23 24 25 стр 13