Группа 305 "Математика"

12.12.2022

Тема занятия: "Касательная плоскость к сфере"

Определение  1

Сфера — поверхность, все точки которой находятся на равном расстоянии от заданной точки. При этом заданную точку называют центром сферы, а расстояние — радиусом сферы.

Примечание 

В пространственной геометрии различают понятие сферы и шара. В данной статье сферу и шар будем считать взаимозаменяемыми понятиями. Это утверждение имеет место быть, так как определение, свойства и признаки касательной плоскости будут совпадать и в случае касания к сфере, и в случае касания к поверхности шара.

В пространстве сфера и плоскость могут находиться в одном из трех взаимных положениях.

Величина отрезка, проходящего через центр сферы и точку плоскости, меньше величины радиуса сферы. В этом случае плоскость пересекает сферу. Такую плоскость называют секущей.

Величина отрезка, проходящего через центр сферы и точку плоскости, больше величины радиуса. В этом случае сфера и плоскость не пересекаются.

Величина отрезка, проходящего через центр сферы и точку плоскости, равна величине радиуса. Тогда говорят, что плоскость касается сферы.

Определение 2

Касательная плоскость к шару или сфере — плоскость, которая имеет одну общую точку с поверхностью сферы/шара. Точка, в которой сфера касается с плоскостью, — точка касания.

Далее рассмотрим две теоремы, которые выражают свойство и признак касательной плоскости к сфере.

Теорема о свойстве касательной плоскости к сфере

Теорема 

Если из центра шара провести радиус к точке касания плоскости и шара, то такой радиус будет перпендикулярен данной касательной плоскости.

Докажем теорему. 

Пусть из центра сферы — точки О проведен радиус R к точке касания H сферы и плоскости β.

Согласно определению касательной, точка H — единственна общая точка плоскости β и сферы. Значит, остальные точки расположены вне сферы и расстояния до них от точки O будет больше радиуса. Получили, что OH — кратчайшее расстояние от плоскости до точки, то есть OH — перпендикуляр к плоскости β, что и требовалось доказать.

Теорема о признаке касательной плоскости

Следующая теорема является обратной к теореме о свойстве касательной плоскости и одновременно является признаком данной плоскости.

 Теорема 2

Пусть дана сфера радиусом R и некоторая плоскость β, которая проходит через конечную точку H радиуса. Если радиус перпендикулярен плоскости β, то данная плоскость является касательной к сфере.

Докажем теорему.

Так как по условию теоремы радиус перпендикулярен к плоскости, то расстояние от центра О до плоскости равно величине радиуса или отрезка OH, значит, точка H — единственная общая точка сферы и плоскости. Тогда по определению касательной, плоскость β — касательная к данной сфере.

Отметим, что на основании свойства и признака, представленных в нашем докладе, можно построить касательную плоскость к сфере в пространстве.

В том случае, если сфера задана уравнением в координатах x, y и z, касательную плоскость находят как плоскость, проходящую через заданную точку и перпендикулярную заданной прямой — радиусу сферы.

Напомним, уравнение сферы с центром в точке () и радиусом R, имеет вид:

Формула 1

Уравнение плоскости, проходящей через точку () и перпендикулярную прямой, заданной уравнением , имеет вид:

Формула 2

 Выполнить задания по учебнику  "Геометрия 10-11 класс" 

                                      №592, 593, 594 стр 152