Группа 401 "Математика"

26.12.2022

Тема занятия: "Применение производной и интеграла к решению практических задач"

1. Определение производной

Напомним, что производной функции в заданной точке называется предел разностного отношения:

Напомним правила вычисления производных:

Приведем пример:

Найти производную функции:

Решение:

Ответ: .

2. Решение задач с помощью производной.

Напомним, что геометрический смысл производной - это угловой коэффициент касательной. Те есть значение производной в данной точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в заданной точке: f'(x0)=kкас.(x0)

Задача 1.

Найдем угол, под которым график функции  пересекает ось абсцисс.

Найдем производную данной функции:  .

Так как нам нужно узнать угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс, нам нужно найти эти точки пересечения. Для этого решим уравнение: .

То есть график данной функции пересекает ось абсцисс в трех точках с найденными абсциссами.

Угол пересечения графика функции оси абсцисс - это угол, под которым касательная, проведенная к графику данной функции в точке с соответствующей абсциссой, пересекает ось абсцисс.

Угловой коэффициент касательной - это тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Поэтому нужно найти значение производной данной функции в точках пересечения ее графика с осью абсцисс.

Найдем углы:

, , угол тупой, функция убывает

, , угол острый, функция возрастает

, угол острый, функция возрастает

Вспомним механический смысл производной.

Производная - это скорость материальной точки, положение которой изменяется по заданному закону.

Решим задачу 2.

Движение материальной точки описывается данным уравнением:

x(t) = 4+5t – 6t2 + 2t3.

Найти скорость и ускорение точки в момент времени 3.

a(t)=-12+12·3=24.

Ответ: v=23; a=24.

Теперь напомним решение задачи на наибольшее и наименьшее значение, которая также решается с помощью производной.

Задача 3.

Найти прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность радиуса R.

Решение:

Рисунок 1 - Иллюстрация к задаче 3

Исследуем функцию 

При 

Прямоугольником наибольшей площади, вписанным в круг радиуса R, является квадрат со стороной .

3. Теперь перейдем к повторению первообразной и интеграла.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a; b), если f(x)=F'(x) в каждой точке промежутка (a; b).

Все первообразные для данной функции отличаются друг от друга на константу

Пример.

Покажем, что функция  является первообразной для функции .

Найдем производную: .

Преобразуем полученную функцию:

 .

Получили функцию f(x).

4. Решение задач

Задача 4.

Найдите первообразную для функции , удовлетворяющую заданным условиям: F(1)=6.

Решение:

Для функции  первообразными является функции вида

По условию: F(1)=6

С=5,4

Ответ: 

Задача 5.

Точка движется прямолинейно с ускорением

 Найдите закон движения точки, если в момент времени t=1с ее скорость равна 10м/с, а координата равна 12 (единица измерения ускорения 1м/с2)

Так как , то v(t) - первообразная для функции a(t).

Так как , то s(t) - первообразная для функции v(t).

, 

, 

Ответ: 

Задача 6.

Вычислите объем тела, ограниченного плоскостями x=0, x=0,5 , площадь сечения которого плоскостью, параллельной плоскости yOz и отстоящей от нее на расстоянии х, меняется по закону: 

Решение:

.

 (куб.ед)

Задача 7.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций.

.

Решение:

Рисунок 2 - Иллюстрация к задаче 6.

Ответ: 7,5 кв.ед.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Найдите аргумент, при котором функция  достигает наибольшего значения на отрезке [-3; -1].

Решение:

Найдем производную данной функции, сначала преобразуем функцию, выделив целую часть: .

Теперь найдем производную:

 .

Полученная производная изменяет свой знак в точках 2 и -2, в точке 0 функция и производная не определены.

Так как задан отрезок [-3; -1], то рассмотрим поведение производной вокруг точки -2.

Так как на данном отрезке функция имеет единственную точку экстремума (максимум), то наибольшее значение она принимает в этой точке.

Ответ: -2

2. Вычислите массу участка стержня от x_1 до , если его линейная плотность задается формулой .

Решение:

Масса участка стержня на заданном участке выражается интегралом: .

Для того чтобы найти массу участка стержня от  до x_2, если его линейная плотность задается формулой , вычислим интеграл:

.

Ответ: .

3. Найти путь, пройденный при свободном падении телом за первые 5 секунд (ускорение равно 9,8 м/с2)

Решение.

Скорость в момент времени t равна 9,8t.

Значит, путь, пройденный за промежуток времени [0; 5], выражается определенным интегралом:

 м

Выполнить упражнения по учебнику:  "Алгебра 10-11 класс" 

            №1025, 1026, 1027 (1,3,5) стр 314