Группа 403 "Математика"

Тема занятия: "Уравнение tg x = a"

1. Решение тригонометрического уравнения tg α= m на первом этапе целесообразно выполнять с использованием тригонометрической окружности. Из рисунка видно, что при |m|>1, таких точек нет, при |m|=1, такая точка одна, при |m|<1, таких точек две.

Рисунок 1 – Точки пересечения прямой y = mx с тригонометрической окружностью

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая  пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:

M(π/3) и N(4π/3).

Рисунок 2 – Решение уравнения 

Эти точки соответствуют всем числа вида .

Таким образом, решение уравнения  можно записать так:

.

Ответ: .

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая  пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:

M(5π/6) и N(-π/6).

Рисунок 3 – Решение уравнения ctgα=

Эти точки соответствуют всем числа вида .

Таким образом, решение уравнения  можно записать так:

.

Ответ: .

Чтобы уметь решать уравнения  и  для произвольных значений m и n, вводятся понятия арктангенса и арккотангенса.

Арктангенсом числа m называется такое число α, что:  и .

Арктангенс числа m обозначают:

Арккотангенсом числа n называется такое число α, что: и .

Арккотангенс числа n обозначают: 

Из определения следует, что  и.

Если  и , то 

Два простейших тождества для арктангенса.

1.  для любого m
2.  для любого α: .

Если  и , то .

Два простейших тождества для арккотангенса.

1.  для любого n
2.  для любого α: .

Из рисунка видно, что .

Рисунок 4 – Связь между 

Решением уравнения  являются все числа вида

.

Из рисунка видно, что 

Рисунок 5 – Связь между 

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1.Решите уравнение.

В ответ запишите значение k, при котором х будет наименьшим положительным числом корень.

Решение:

При  получаем x=-0,5

При увеличении значений k значения корня будут отрицательными. Поэтому будем рассматривать отрицательные значения k.

 . Так как , то .

При уменьшении значений k значения х будут увеличиваться.

Поэтому искомое значение k равно -1.

Ответ: -1

2.Решите уравнение . Определите, сколько решений имеет это уравнение при:

1. k=-3

Ответ: 0

1. k=0

Ответ: 2

1. k=2

Решение:

Запишем решение данного уравнения в виде:

Тогда: 

Уравнение имеет решение, если . То есть , или .

Второе уравнение имеет решение, если . То есть , или .

Поэтому при  уравнение будет иметь 2 решения, а при  ни одного.

Ответ: 2

                                          Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №607 стр 183, 610, 611стр 183