Сергей Александрович Лазарев

Группа 306 "Математика"

Тема занятия: "Задачи на построение сечений"

Задача 8. Построить сечение тетраэдра по трем точкам (см. рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к задаче 8

Решение

Чтобы построить сечение, нужно изобразить отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани. На левой грани мы имеем уже две точки, значит, знаем и сам отрезок. Соединяем точки. Аналогично на задней грани (см. рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к задаче 8

Редко когда в задаче у нас будут сразу две точки на каждой необходимой грани. Чтобы построить сечение, нужно будет выходить за пределы самих граней. Суть метода построения сечений состоит в том, чтобы находить отрезки на чертеже, лежащие в одной плоскости, пересекать их, получая дополнительные точки плоскости сечения.

В нашем случае легко видеть, что отрезки и лежат в одной плоскости задней грани.

Продлим их и найдем точку пересечения (см. рис. 22).

Рис. 22. Иллюстрация к задаче 8

Точка лежит в плоскости сечения и нижней грани. Точка тоже. Значит, мы можем простроить след плоскости сечения в нижней грани. Получим еще одну точку (см. рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к задаче 8

Осталось соединить и . Мы построили сечение (см. рис. 24).

Рис. 24. Иллюстрация к задаче 8

Такой метод построения часто так и называют – метод следов. Главное, всегда оценивать, лежат ли данные прямые в одной плоскости. Частая ошибка, когда скрещивающиеся прямые на чертеже принимают за пересекающиеся.

Задача 9. Построить сечение параллелепипеда плоскостью (см. рис. 25).

Рис. 25. Иллюстрация к задаче 9

Решение

Итак, два отрезка у нас уже есть – это и . Чаще всего новые точки ищут в плоскости нижнего основания, но это не обязательно, просто так легче изображать. Продолжим отрезок и левое нижнее ребро до пересечения. Обозначим эту точку как (см. рис. 26). Она у нас пока единственная точка следа от плоскости сечения в нижнем основании. Но след можно построить либо по двум точкам, либо по одной, если есть прямая, параллельная нашему следу.

Рис. 26. Иллюстрация к задаче 9

Теперь вспомним, что если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то она оставляет на них параллельные следы. Таким образом, след в нижнем основании нужно проводить параллельно следу в верхнем основании. Проведем через прямую в плоскости нижнего основания параллельно отрезку . Мы получили еще две точки – и (см. рис. 27).

Рис. 27. Иллюстрация к задаче 9

Соединяем и , и (см. рис. 28).

Рис. 28. Иллюстрация к задаче 9

В правой грани через точку проводим прямую, параллельную следу в левой грани. Получили последнюю необходимую точку (см. рис. 29).

Рис. 29. Иллюстрация к задаче 9

Построим сечение (см. рис. 30).

Рис. 30. Иллюстрация к задаче 9

Задача 10. Построить сечение параллелепипеда по трем точкам (см. рис. 31).

Рис. 31. Иллюстрация к задаче 10

Решение

Итак, мы можем соединить точки и (см. рис. 32).

Рис. 32. Иллюстрация к задаче 10

Далее у нас есть два варианта. Мы можем пересечь прямые и . Полученная точка лежит в плоскости нижней грани. Осталось соединить ее с точкой (см. рис. 33).

Рис. 33. Иллюстрация к задаче 10

Либо можно было сразу в плоскости задней граней через точку провести отрезок параллельно отрезку (см. рис. 34).

Рис. 34. Иллюстрация к задаче 10

Если точки на ребрах, задающие плоскость сечения, немного сместить, то сечение может выглядеть иначе (см. рис. 35).

Рис. 35. Иллюстрация к задаче 10

Соединим точки и . Продлим и до пересечения в точке . Эта точка лежит в плоскости нижней грани. Соединяем ее с . Получили точку (см. рис. 36).

Рис. 36. Иллюстрация к задаче 10

В плоскости задней грани через точку проводим прямую параллельно . Получили точку . Сечение построено (см. рис. 37).

Рис. 37. Иллюстрация к задаче 10

Здесь можно было обойтись и без дополнительной точки .Через проводим прямую параллельно . Получили точку (см. рис. 38).

Рис. 38. Иллюстрация к задаче 10

Через в плоскости правой грани проводим прямую, параллельную , получаем точку . Сечение построено (см. рис. 39).

Рис. 39. Иллюстрация к задаче 10

Задача 11. Построить сечение тетраэдра по трем точкам (см. рис. 40).

Рис. 40. Иллюстрация к задаче 11

Решение

Точки, задающие плоскость сечения, конечно, не обязаны находиться на ребрах многогранника. Рассмотрим тетраэдр. Точка лежит на ребре . А вот, где лежит точка , по рисунку мы понять не можем. Это может быть и нижняя грань, и левая. В таких случаях нужно явно проговаривать, где лежит точка.

Пусть точка лежит на нижней грани, а точка – на левой. Точки и лежат на одной грани – левой. Проводим через них прямую до пересечения с , которая тоже лежит в левой грани. Получили точку сечения и точку , лежащую в плоскости нижней грани (см. рис. 41).