Группа 306 "Математика"

Тема занятия: "Центральная симметрия"

Последним движением, которое мы рассмотрим, является центральная симметрия. Центральная симметрия – это симметрия относительно выбранной точки, центра симметрии.

Зафиксируем точку  – это будет центр симметрии. Выберем произвольную точку . Точка  будет ее образом, если точка  является серединой отрезка  (см. рис. 45).

Рис. 45. Центральная симметрия

Доказательство того факта, что центральная симметрия является движением, т. е. сохраняет расстояния между точками, элементарно.

 

Теорема 5. При центральной симметрии сохраняются расстояния, т. е. центральная симметрия является движением.

Доказательство

Построим для двух прообразов  и  их образы  и , т. е. точки, симметричные относительно центра симметрии  (см. рис. 46).

Рис. 46. Точки  и  симметричны относительно центра симметрии  точкам  и 

Полученные два треугольника  и  равны по первому признаку:

1. углы  (как вертикальные);
2. стороны  (по определению симметрии);
3. стороны  (по определению симметрии).

Следовательно, отрезки:

Т. е. расстояния при центральной симметрии сохраняются.

Доказано.

Но даже такого элементарного доказательства можно было не проводить, если бы мы в этот раз задались вопросом: не сводится ли центральная симметрия к уже рассмотренным движениям?

Действительно, центральная симметрия – это поворот на  (см. рис. 47). Т. е. центральная симметрия является частным случаем поворота, а значит, и движением.

Рис. 47. Центральная симметрия – это поворот на 

Если какая-то центральная симметрия переводит фигуру саму в себя, то центр симметрии называют центром симметрии фигуры, а саму фигуру – центрально симметричной.

Очевидно, что окружность является центрально симметричной. Является ли какой-либо из известных нам многоугольников центрально симметричным? Рассмотрим правильный треугольник (см. рис. 48).

Рис. 48. Правильный треугольник

Является ли его центр (точка пересечения медиан, биссектрис, высот) центром симметрии? Конечно, нет. Ни одна вершина не переходит при симметрии в другую вершину (см. рис. 49). А сам треугольник при отображении не переходит в себя (см. рис. 50).

Рис. 49. Ни одна вершина правильного треугольника не переходит при симметрии в другую вершину

Рис. 50. Правильный треугольник не переходит в себя при отображении

Центральная симметрия параллелограмма

Легко увидеть, что квадрат является центрально симметричным. Но квадрат очень сильное требование. Может его можно ослабить и сохранить при этом симметрию?

На самом деле, произвольный параллелограмм обладает центральной симметрией. Точка пересечения диагоналей является таким центром (см. рис. 51). Понятно, что каждая вершина симметрична противоположной.

Рис. 51. Точка пересечения диагоналей произвольного параллелограмма является центром симметрии

Если же отложить на сторонах два равных отрезка  и , то полученные треугольники  и  окажутся равными по первому признаку (см. рис. 52).

Рис. 52. Равные треугольники  и 

В самом деле:

1. стороны  (по построению);
2. стороны  (как половины одной диагонали);
3. углы  и  (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых).

Следовательно,  и  – симметричные точки и параллелограмм симметричен относительно точки .

---

 

Задача на центральную симметрию

Рассмотрим задачу, которую можно решить с использованием центральной симметрии.

 

Задача. Двое игроков поочередно выкладывают на прямоугольный стол пятаки. Монету разрешается класть только на свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто победит при правильной игре?

Решение

Раз нам не даны размеры пятаков, площадь стола, то выигрышная стратегия должна быть общей и не зависеть от этих данных. Воспользуемся стратегией, основанной на центральной симметрии. Первый игрок может положить пятак так, чтобы его центр совпал с центром стола (см. рис. 53).

Рис. 53. Иллюстрация к задаче

А дальше на любой ход второго игрока отвечать симметрично относительно этого центра (см. рис. 54).

Рис. 54. Иллюстрация к задаче

Понятно, что при такой стратегии если второй игрок сделал ход, то его сможет сделать и первый игрок (см. рис. 55). И что игра завершится за конечное число ходов.

Рис. 55. Иллюстрация к задаче

                                      Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №478, 479, стр125