Группа 403 "Математика"

Тема занятия: "Связь между координатами векторов и координатами точек"

Напомним, что любой вектор на плоскости можно однозначно выразить через два неколлинеарных вектора  и . Это значит, что векторы  и  задают координатную плоскость, в которой будут рассматриваться все остальные векторы (см. рис. 1).

Рис. 1. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Так, найдутся такие числа , , что:

Для конкретного вектора пара чисел  единственная, она и называется координатами вектора, отметим, что они совпадают с координатами точки  – конца вектора.

Рис. 2. Координаты вектора

Из точки  проведем прямые, параллельные осям координат (см. рис. 2). По правилу треугольника имеем:

 

Координаты произвольного вектора

Дано: ; .

Найти координаты вектора .

Решение

Рис. 3. Координаты вектора

Мы можем найти координаты вектора, построенного из начала координат. Далее применим правило треугольника (см. рис. 3):

; 

Тогда:

Так, искомые координаты вектора: , каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Решение примеров

Пример

Дано: ; .

Найти координаты вектора ; .

Решение

По формуле:

Напомним, что векторы  и  являются противоположными и их координаты противоположны.

 

Пример

Дано: ; ; .

Найти числа , .

Решение

По формуле:

 

Пример

Дано: параллелограмм ; ; ; .

Найти координаты вершины  параллелограмма (см. рис. 4).

Решение

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Построим заданные точки в системе координат, построим параллелограмм. Чтобы найти координаты точки  воспользуемся равенством векторов .

Найдем координаты векторов:

; 

Из равенства векторов следует равенство их координат:

                                        Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №416, 417, 418 стр110