Сергей Александрович Лазарев

Группа 403 "Математика"

Тема занятия: "Производная"

По определению производной мы уже нашли, что производной функции является функция . Для других функций мы могли бы точно так же искать по определению их производные. Но за нас это уже сделали раньше, поэтому мы можем воспользоваться уже готовыми результатами – так называемыми «таблицами производных».

Конечно, функций бесконечно много. Но в курсе алгебры мы уже видели, что среди них можно выделить элементарные, базовые функции. А большинство остальных можно получить из этих базовых с помощью различных преобразований. Таким образом, для начала нам достаточно узнать производные для базовых функций.

Термин дифференцировать происходит от латинского слова differentia – разность, различие. Чтобы понять, где же есть эти «разности» в производной, посмотрим на её определение (см. рис. 1):

Рис. 1. Определение производной

В числителе и знаменателе как раз и стоят эти самые разности: между одним и другим значением аргумента, между одним и другим значением функции.

В целом раздел математики, в котором изучается производная, называется «дифференциальным исчислением». И множество терминов в этом разделе имеют тот же корень: «дифференцировать функцию», «правила дифференцирования», «дифференциал» – все это так или иначе связано с «разностями».

Кроме математики, с подобными словами вы можете столкнуться и в других областях знаний. Например, в электротехнике есть понятие дифференциальной защиты. Принцип её действия основан на вычислении разности сил токов.

В других случаях схожие термины связаны с другим значением слова – «различие». Так, в медицине есть понятие дифференциальной диагностики. Суть её состоит в том, что для болезней со сходными симптомами находятся различия в симптомах. И на основе наличия или отсутствия этих симптомов, которые различны для разных болезней, ставится диагноз.

Также есть устройство под названием дифференциал. Он, в частности, является частью трансмиссии автомобилей. Его назначение заключается в том, чтобы объединять независимые друг от друга различные мощности для передачи их одной части механизма. Или, наоборот, для распределения мощности на несколько независимых различных частей механизма.

_______

Если вы встречаете эти выражения, вы должны знать, что делать.

Теперь наконец посмотрим на таблицу производных (рис. 12)

Рис. 12. Таблица производных

Эту таблицу желательно запомнить, ведь выводить эти результаты из определения производной достаточно долго; а в некоторых случаях доказательство будет даже выходить за рамки школьной программы. Конечно, если вы её забыли, вы всегда можете найти подобную таблицу в справочных материалах или в интернете.

Остановимся подробнее на некоторых строчках таблицы.

1) Производная от константы равна 0. Действительно, если функция константа, т.е. не меняется, то скорость её изменения всегда будет равна нулю.

2) Производная от функции равна 1. Поскольку y и x равны, то они и изменяться будут одинаково: ∆y = ∆x. Значит, отношение всегда равно 1.

3) Функции из строк 3, 5 и 6 являются частным случаем строки 4. Так . Тогда производная:

Аналогично: – ее производная .

Но эти функции достаточно часто встречаются, поэтому лучше запомнить для них готовый результат. В остальных же функциях с дробями и корнями нужно будет выполнить аналогичные действия:

− с помощью свойств степеней привести функцию к виду y = xn ;

− взять производную, пользуясь таблицей;

− вернуться к обозначениям дробей и корней, используя свойства степени.

Потренируемся на примере:

Задание 1.

Найти производную функции .

Представляем в виде степени. . Тогда .

Ищем по таблице производную:

Перепишем в виде корней и дробей:

Получаем ответ:

_____________

Почему можно переходить от корней к степеням с рациональным показателем

Вы могли обратить внимание, что при взятии производной мы сделали некоторые нетождественные преобразования. Так, определён для любых ненулевых значений , а вот – только для положительных значений. Значит ли это, что полученное выражение для производной справедливо только для положительных x? Нет, оно верно и для отрицательных, и сейчас мы это докажем.

Итак, если функция содержит корень четной степени (), то тут нет никаких проблем. ОДЗ этого выражения – неотрицательные значения , поэтому никаких проблем при переходе к степени с рациональным показателем не будет. Там тоже ОДЗ – все неотрицательные x.

Если же функция содержит только корни нечётной степени, то переходить к степени с рациональным показателем можно только для . Для них вычисленная производная будет верной. А что же с ? Посмотрим. Для нечетной степени:

. , значит, можем перейти к степени:

Вычисляем производную.

«−» оставляем, производная от равна .

И ещё умножаем на (−1), т.к. аргумент , а не .

Почему нужно оставлять «–» и умножать на −1 вы узнаете далее в уроке.

В итоге получаем:

От степени переходим к корням:

В итоге мы получили такой же ответ, как получили бы и для неотрицательных . Таким образом, подобный метод подходит для всех значений аргумента. И при поиске производной от функции, содержащей корни, не нужно задумываться об ОДЗ. Главное – перевести ответ в выражение с корнями, чтобы учитывать все возможные аргументы исходной функции.

___________________

Возвращаемся к таблице производных.

Глядя на 11 строчку видим, что производной от функции является эта же функция . Именно этим и отличается показательная функция, в основании которой стоит число Эйлера. По этой же причине именно функция с основанием , а не каким либо другим основанием, применяется для описания различных процессов, описывающихся показательной функцией.

___________________________

Чем удобна функция

Множество процессов можно описать показательной функцией. При этом основание степени можно выбрать различным. Ведь с помощью основного логарифмического тождества можно перейти от одного основания к любому другому. Например, есть процесс радиоактивного распада, который можно описать функцией: , где и – некоторые константы. Используя основное логарифмическое тождество, можем перейти к основанию e:

Почему же удобно переходить именно к основанию ? Ответ прост: производная от функцииимеет наиболее простой вид. В функциях с другим основанием выражение еще нужно умножить на . А поскольку уравнения, описывающие подобные процессы, всегда содержат производную, то удобнее её искать в более простом виде.