Группа 306 "Математика"

Тема занятия: "Касательная плоскость к сфере"

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Такая точка называется центром сферы, расстояние от данной точки до всех точек – радиусом сферы.

Рис. 1. Сфера в координатной плоскости

Запишем уравнение сферы, для этого построим оси координат (рис. 1). Точка  – центр сферы, R – радиус сферы, то есть расстояние от точки  до произвольной точки , лежащей на сфере.

 

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Шар описывается следующим неравенством: .

Площадь сферы находится по формуле: .

Объём шара: .

 Касательная и секущая плоскость, их свойства

Рассмотрим касательную плоскость к сфере. Плоскость α называется касательной к сфере, если она со сферой имеет только одну общую точку (точку касания) (рис. 2).

Рис. 2. Касательная плоскость к сфере

Плоскость является касательной к сфере тогда и только тогда, когда радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен к плоскости: .

Рассмотрим секущую плоскость. Построим сферу и оси координат (рис. 3). Плоскость, перпендикулярная оси z и проходящая через точку  рассекает плоскость по окружности. Докажем это.

Рис. 3. Секущая плоскость

Запишем систему уравнений, состоящую из уравнения сферы (центр сферы – начало координат) и перпендикулярной оси z плоскости: .

Подставим z в первое уравнение: . Получили формулу окружности.

 Секущая и касательная  прямая и их свойства

Дана сфера и точка A вне сферы (рис. 4). AT – касательная прямая к плоскости, AB – секущая прямая (точки C и B – общие для сферы и для прямой AB), AC – внешняя часть секущей AB;  – секущая прямая,  её внешняя часть.

Рис. 4. Секущая и касательная прямая

Запишем теорему для секущих и касательных прямых к сфере: произведение секущей на внешнюю часть есть величина постоянная, равная квадрату касательной – .

 Задача 1 (нахождение касательной к сфере)

Дано: ;  (рис. 4).

Найти: .

Решение:

Найдём внешнюю часть касательной.

 

По теореме о секущих и касательных прямых: .

l

Ответ: .

 Задача 2 (определение уравнения сферы и нахождение радиуса окружности в сечении этой сферы)

2.1. Напишите уравнение сферы с центром в точке  радиуса .

Решение:

Уравнение сферы в общем виде:  , где (a;b;c) – координаты центра сферы.

Следовательно, уравнение данной нам сферы выглядит так: .

Ответ:.

2.2. Найдите радиус окружности в сечении данной сферы плоскостью (xy).

Решение:

Уравнение данной сферы  , а уравнение плоскости (xy) – это .

 

Подставляем в первое уравнение значение z: .

Получили уравнение окружности в сечении данной сферы, следовательно, радиус этой окружности равен 4.

Ответ: 4.

 Задача 3 (нахождение радиуса сферы и координат центра сферы)

Найдите координаты центра и радиус сферы  .

Решение:

Решение будет осуществляться с помощью выделения полного квадрата.

Получили уравнение сферы, из которого видим, что координаты центра сферы , а радиус сферы равен .

Ответ:; .

 Задача 4 (нахождение расстояния от центра сферы до плоскости)

Дано: точки A, B, C лежат на сфере радиуса 13; .

Найти: расстояние от центра сферы до плоскости ABC.

Решение

Рис. 5. Иллюстрация к задаче №4

На рис. 5 изображены данные нам элементы.  – радиус сферы (O – центр сферы). Стороны получившегося  нам известны. Мы получили пирамиду, у которой все рёбра известны, нужно найти расстояние от точки O до плоскости ABC.

OH – искомое расстояние, то есть высота пирамиды, найдём место расположения точки H. Мы получили три равных прямоугольных треугольника:  (по катету OH и гипотенузе). Следовательно, , то есть точка H – центр описанной около  окружности.  прямоугольный, так как .

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника – середина гипотенузы, следовательно, точка H – середина AB и высота проектируется в эту точку.

Из прямоугольного , по теореме Пифагора, найдём OH: .

Ответ: .

                                   Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №583, 584, 585 стр 151