Группа 306 "Математика"

Тема занятия: "Объём прямоугольного параллелепипеда" 

Определение прямоугольника и параллелепипеда

Прямоугольник – одна из самых простых плоских фигур, а прямоугольный параллелепипед – такая же простая фигура, но в пространстве (рис. 1). Они очень похожи.

Так же похожи, как круг и шар.

                                                                    

Рис. 1. Прямоугольник и параллелепипед

Вычисление площади

Разговор про площади начинают с площади прямоугольника, а про объёмы – с объёма прямоугольного параллелепипеда.

Если мы умеем находить площадь прямоугольника, то это нам позволяет найти площадь любой фигуры.

Вот эту фигуру мы можем разбить на 3 прямоугольника и найти площадь каждого, а значит, и всей фигуры (рис. 2).

Рис. 2. Фигура	Рис. 3. Фигура, площадь которой равна семи прямоугольникам

Даже если фигура не разбивается точно на прямоугольники, это можно сделать с любой точностью и площадь посчитать приблизительно.

Площадь этой фигуры (рис. 3) примерно равна сумме площадей семи прямоугольников. Неточность получается за счёт верхних маленьких фигур. Если увеличить число прямоугольников, то неточность уменьшится.

То есть прямоугольник – это инструмент для вычисления площадей любых фигур.

Вычисление объёма

Такая же ситуация, когда речь идет об объёмах.

Любую фигуру можно выложить прямоугольными параллелепипедами, кирпичиками. Чем мельче будут эти кирпичики, тем точнее мы сможем посчитать объём (рис. 4, рис. 5).

Рис. 4. Вычисление объёма с помощью прямоугольных параллелепипедов

Прямоугольный параллелепипед является инструментом для вычисления объёмов любых фигур.

Рис. 5. Вычисление объёма с помощью маленьких параллелепипедов

Формула площади прямоугольника

Давайте немного вспомним.

Квадрат со стороной 1 единица (рис. 6) имеет площадь в 1 квадратную единицу. Исходная линейная единица может быть любой: сантиметр, метр, километр, миля.

Например, 1 см2 – это площадь квадрата со стороной 1 см.

Рис. 6. Квадрат и прямоугольник

Площадь прямоугольника – это количество таких квадратов, которые в него поместятся (рис. 6).

Уложим единичные квадраты в длину прямоугольника в один ряд. Получилось 5 штук.

В высоту помещается 3 квадрата. Значит, всего помещается три ряда, в каждом по пять квадратов.

Итого площадь равна .

Понятно, что нет нужды каждый раз внутри прямоугольника размещать единичные квадраты.

Достаточно умножить длину одной стороны на длину другой.

 

Или в общем виде:

Объём прямоугольного параллелепипеда

Очень похоже обстоят дела с объёмом прямоугольного параллелепипеда.

Объём куба со стороной 1 единица – это 1 кубическая единица. Опять же, исходные линейные величины могут быть любыми: миллиметры, сантиметры, дюймы.

Например, 1 см3 – это объём куба со стороной 1 см, а 1 км3 – это объём куба со стороной 1 км.

Найдем объём прямоугольного параллелепипеда со сторонами 7 см, 5 см, 4 см (Рис. 7.) 

Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед

Решение:

Объём нашего прямоугольного параллелепипеда – это количество единичных кубов, помещающихся в него.

Уложим на дно ряд единичных кубиков со стороной 1 см вдоль длинной стороны. Поместилось 7 штук. Уже по опыту работы с прямоугольником мы знаем, что на дно поместится всего 5 таких рядов, по 7 штук в каждом. То есть всего:

Назовем это слой. Сколько таких слоёв мы можем уложить друг на друга?

Это зависит от высоты. Она равна 4 см. Значит, укладывается 4 слоя в каждом по 35 штук. Всего:

А откуда у нас появилось число 35? Это 75. То есть количество кубиков мы получили перемножением длин всех трёх сторон.

Но это и есть объём нашего прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 140  

Теперь мы можем записать формулу и в общем виде. (Рис. 8.) 

Рис. 8. Объем параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда со сторонами , ,  равен произведению всех трех сторон.

Если длины сторон даны в сантиметрах, то объём получится в кубических сантиметрах (см3).

Если в метрах, то объём в кубических метрах (м3).

Аналогично объём может быть измерен в кубических миллиметрах, километрах и т. д.

Задача 1

Стеклянный куб со стороной 1 м наполнен водой целиком. Какова масса воды (рис. 9)?

Рис. 9. Куб

Решение

Куб является единичным. Сторона – 1 м. Объем – 1 м3.

Если мы знаем, сколько весит 1 кубический метр воды (сокращенно говорят кубометр), то задача решена.

Но если мы этого не знаем, то нетрудно посчитать.

Длина стороны .

Посчитаем объем в дм3.

Но 1 дм3 имеет отдельное название, 1 литр. То есть у нас 1000 литров воды.

Нам всем известно, что масса одного литра воды равна 1 кг. То есть у нас 1000 кг воды, или 1 тонна.

Понятно, что такой куб, наполненный водой, не под силу передвинуть ни одному обычному человеку.

Ответ: 1 т.

Задача 2

Рис. 10. Холодильник

Холодильник имеет высоту 2 метра, ширину 60 см и глубину 50 см. Найти его объем.

Решение

Прежде чем мы воспользуемся формулой объема – произведение длин всех сторон – необходимо перевести длины в одинаковые единицы измерения.

Мы можем перевести все в сантиметры.

Соответственно, и объем мы получим в кубических сантиметрах.

Ответ: 

Думаю, вы согласитесь, что в кубических метрах объем более понятен.

Человек на глаз плохо отличает число с пятью нулями от числа с шестью нулями, а ведь одно в 10 раз больше, чем другое.

Как перевести единицы объёма?

Часто нам нужно перевести одну единицу объёма в другую. Например, кубометры в кубические дециметры. Тяжело запомнить все эти соотношения. Но этого и не нужно делать. Достаточно понять общий принцип.

Например, сколько кубических сантиметров в кубическом метре?

Давайте посмотрим, сколько кубиков со стороной 1 сантиметр поместится в куб со стороной 1 м (рис. 11).

Рис. 11. Куб

В один ряд укладывается 100 штук (ведь в одном метре 100 см).

В один слой укладывается 100 рядов или  кубиков.

Всего помещается 100 слоев.

Всего 

Таким образом, 

То есть если линейные величины связаны соотношением «в одном метре 100 см», то чтобы получить соотношение для кубических величин, нужно возвести 100 в 3 степень (). И не нужно каждый раз чертить кубы.

Заодно мы увидели соотношение и для единиц площади. В одном квадратном метре  квадратных сантиметров. В одном слое у нас было 10 000 кубиков.

 

---

Задачи

Сколько в одном кубическом километре кубических метров?

Ответ: 1 млрд м3.

Каждый кубометр воды весит 1 т. Значит, кубический километр воды весит 1 млрд тонн. Такими единицами пользуются при измерении количества воды в морях и океанах.

Какова масса одного кубического сантиметра воды?

Мы знаем массу одного литра, это 1 кг, но 1 литр – это кубический дециметр.

Так как , то . Но это значит, что 1  весит:

Для одной тысячной существует приставка «милли-» (помним, что миллиметр – это одна тысячная метра), эту приставку используют и здесь.

То есть иными словами мы можем сказать, что один миллилитр воды имеет массу 1 г.

                                       Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №649, 650, 651стр 161