Группа 403 "Математика"

Тема занятия: "Простейшие задачи в координатах"

Задача 1. Координаты середины отрезка.

Дано: отрезок АВ; ; ; С – середина АВ.

Найти: координаты точки .

Решение (рис. 1):

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Построим векторы ,  и .

Найдем вектор :

Другим путем:

.

Сложим:

Так как С – середина отрезка и векторы  и  противонаправлены, то , следовательно .

Найдем координаты вектора 

Координаты вектора  совпадают с координатами точки , координаты вектора  совпадают с координатами точки .

Координаты вектора   совпадают с координатами точки , следовательно

 Определение длины вектора

Задача 2. Вычисление длины вектора по его координатам.

Дано: вектор 

Найти: длину вектора .

Решение (рис. 2):

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Задан вектор , отложим его от начала координат, получим вектор  с началом в точке  и концом в точке .

  это проекция на ось ;

  это проекция на ось 

По теореме Пифагора 

Если вектор  задан своими координатами, то его длина находится по формуле:

 Формула расстояния между точками

Задача 3. Вычисление расстояния между точками.

Дано: точки  и .

Найти: расстояние  между точками.

Решение (рис. 3):

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Рассмотрим вектор . Из координат конца вычтем координаты начала:

.

Теперь нужно найти длину этого вектора.

Для этого отложим его от начала координат (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Получаем точки  и 

; 

Раз векторы равны, то координаты точки  ( равны координатам вектора .

(По формуле, полученной в задаче 2).

 Решение задач

Задача 4.

Дано: отрезок , точка  и точка   середина .

Найти: координаты точки .

Решение (рис. 5):

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Каждая координата точки  равна полусумме соответствующих координат точек  

Находим :

  

Ответ: 

Задача 5.

Дано:  .

Найти: расстояние =

Решение (рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Ответ: 

                                     Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №426, 427, 428 стр 111