Группа 403 "Математика"

Тема занятия: "Теорема о биссектрисе треугольника" 

Определение 1

Биссектриса угла — это луч, делящий угол пополам.

Определение 2

Биссектриса треугольника — это отрезок, который является частью биссектрисы угла треугольника и соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Так как в треугольнике три угла, можно провести три биссектрисы.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон.

2. Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника является центром вписанной окружности.

3. Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону.

4. Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле:

5. Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

Доказательство теоремы

Теорема 1

Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на два отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине.

Доказательство через метод площадей

Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим высоту треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Доказательство через теорему синусов

Из вершины A в треугольнике ABC проведем биссектрису AD.

По теореме синусов для треугольников ABD и ACD:

Доказательство через подобие треугольников

Из вершины A в треугольнике ABC проведем биссектрису AD.

Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения L и K.

                                       Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс" 

              Решить: №836, 837, 838 стр 204