29.12.2022

Группа 508

Предмет: ОБЖ

Тема урока: Организационная структура Вооруженных Сил Российской Федерации  

Цель урока: изучить данную тему, составить конспект урока. Ответить на вопросы письменно

Организационная структура Вооруженных сил Российской Федерации.

Вооруженные силы Российской Федерации состоят из трех видов: сухопутные войска, воздушно-космические силы и военно- морской флот; двух родов войск: ракетные войска стратеги­ческого назначения, воздушно-десантные войска, а также других войск, не входящих в виды Воору­женных сил, тыла Вооруженных сил, организаций и воин­ских частей строительства и расквартирования (схема 4).

Схема 4. Структура вооруженных сил Российской Федерации

Вид Вооруженных сил — это часть Вооруженных сил государства предназначенная для ведения военных действий в определенной сфере (на суше, море, в воз­душном и космическом пространстве).

 

Род войск — это составная часть вида Вооруженных сил, включающая воинские формирования, которые имеют свойственные только км основные виды оружия и военную технику, а также владеют методами их бое­вого применения.

Структура рода войск на примере мотострелковых войск показана на схеме 5

Схема 5. Структура мотострелковых войск Вооруженных сил Российской Федерации

История создания видов Вооруженных сил связана со спо­собами ведения вооруженной борьбы и тем пространством, на котором она ведется: на суше, на море и в воздухе.

Сухопутные войска (СВ) — это вид войск, предназначен­ных для ведения боевых действий на суше.

По своим боевым возможностям сухопутные войска спо­собны вести наступление в целях разгрома войск противника и овладения его территорией, наносить огневые удары на большую глубину, отражать вторжение противника, прочно удерживать занимаемые территории и рубежи.

В состав сухопутных войск входят: мотострелковые, тан­ковые, ракетные войска и артиллерия, войска противовоз­душной обороны (ПВО), армейская авиация, части и подразделения

специальных войск, а также части и учреждения тыла.

Мотострелковые войска — самый многочисленный род войск, составляющий основу сухопутных войск. Они оснаще­ны вооружением для поражения наземных и воздушных це­лей, ракетными комплексами, танками, артиллерией и ми­нометами, противотанковыми управляемыми ракетами, зе­нитными ракетными комплексами и установками, средства­ми разведки и управления.

Танковые войска — главная ударная сила сухопутных войск и мощное средство вооруженной борьбы, предназначен­ное для решения наиболее важных задач в различных видах боевых действий.

Ракетные войска и артиллерия — главная огневая мощь и важнейшее оперативное средство в решении боевых задач по разгрому группировок противника.

Войска противовоздушной обороны являются одним из основных средств поражения авиации и ракет противника. Они состоят из зенитных ракетных, зенитных артиллерийских и радиотехнических частей и подразделений и предназначены для прикрытия боевых порядков сухопутных войск.

Авиация сухопутных войск предназначена для действий непосредственно в интересах общевойсковых формирований, состоящих из авиационной поддержки, ведения воздушной разведки, высадки тактических десантов и других задач.

Специальные войска, входящие в состав сухопутных войск, обеспечивают успешное выполнение общевойсковы­ми формированиями стоящих перед ними задач.

Части и учреждения тыла на своем уровне обеспечи­вают боеспособность всех родов войск.

Военно-воздушные силы (ВВС) — вид войск, входящих в состав Вооруженных сил, предназначенных для от­ражения агрессии и нанесения ударов по авиационным, сухопутным и морским группировкам противника, его административно-политическим и промышленно-экономическим центрам в целях дезорганизации государ­ственного и военного управления, нарушения работы тыла и транспорта, а также ведения воздушной развед­ки и воздушных перевозок.

Эти задачи войска ВВС могут выполнять в любых погод­ных условиях, в любое время суток и года.

В соответствии с боевыми задачами и характером действий авиация делится по родам на бомбардировочную, истребительно-бомбардировочную, истребительную, штурмовую, раз­ведывательную, противолодочную, военно-транспортную и специальную авиацию. На вооружении авиационных частей находятся самолеты, гидросамолеты и вертолеты. Основа бое­вой мощи ВВС — сверхзвуковые всепогодные самолеты, осна­щенные разнообразным бомбардировочным, ракетным и стрелково-пушечным вооружением.

 

 

 

Военно-морской флот (ВМФ) — вид войск, входящих в состав Вооруженных сил, предназначенных для от­ражения агрессии и нанесения ударов по промышленно-экономическим районам (центрам), важным воен­ным объектам противника и разгрома его военно-мор­ских сил .

ВМФ способен наносить ядерные удары по наземным объ­ектам врага, уничтожать его флот в море и на базах, нарушать (блокировать) океанские и морские коммуникации противни­ка и защищать свои, содействовать сухопутным войскам в проведении операций, высаживать морские десанты и отражать высадку морских десантов противника, перевозить во­йска, материальные средства и выполнять другие задачи.

В состав военно-морского флота входят подводные и над­водные силы, морская авиация, береговые ракетно-артиллерийские войска и морская пехота. Также в его состав вхо­дят корабли и суда вспомогательного флота, части специаль­ного назначения и различные береговые службы.

К самостоятельным родам войск в составе Вооруженных сил относятся ракетные войска стратегического назначения, космические войска и воздушно-десантные войска.

Ракетные войска стратегического назначения (РВСН) оснащены ракетно-ядерным оружием и предназначены для выполнения особых стратегических задач.

Для РВСН характерны высокая боевая готовность и точ­ность нанесения ракетно-ядерных ударов; способность нано­сить удары одновременно по многим объектам, успешно пре­одолевая противодействие ПВО и ПРО (противовоздушная и противоракетная оборона) и выполняя поставленные задачи в кратчайшие сроки; возможность широкого маневра ракетно- ядерными ударами; независимость боевого применения от условий погоды, времени года и суток.

На вооружении РВСН состоят стационарные и мобильные ракетные комплексы огромной поражающей мощи и практи­чески неограниченной дальности действия.

Космические войска (KB)выполняют задачи по обна­ружению стартов баллистических ракет, предупрежда­ют о ракетном нападении.

KB осуществляют запуск ракет-носителей, управление ор­битальной группировкой космических аппаратов и поддер­живают ее на уровне, позволяющем решать задачи мирного и военного времени.

Воздушно-десантные войска (ВДВ) — самостоятельный род войск, предназначенный для боевых действий в тылу противника.

ВДВ состоят из парашютно-десантных, танковых, артил­лерийских, самоходно-артиллерийских и других частей и подразделений, а также из частей и подразделений специ­альных войск и тыла.

Основные боевые свойства ВДВ: способность быстро дости­гать удаленных районов, наносить внезапные удары, успеш­но вести общевойсковой бой.

Тыл Вооруженных сил — это силы и средства, осущест­вляющие тыловое и техническое обеспечение армии и флота в мирное и военное время.

Тыл выполняет также функции связующего звена между экономикой страны и войсками. В состав тыла входят раз­личные части, учреждения и подразделения, необходимые для решения следующих задач:

• постоянно содержать запасы материальных средств и обеспечивать ими войска; осуществлять подготовку, эксплуатацию, техническое прикрытие и восстановление путей сообщения и транс портных средств;

• обеспечивать воинские перевозки всех видов;

• восстанавливать военную технику и имущество;

• создавать условия для базирования авиации и сил флота;

• оказывать медицинскую помощь раненым и больным, проводить противоэпидемические, лечебно-профилактические, санитарно-гигиенические и ветеринарные мероприятия;

• осуществлять торгово-бытовое, квартирно-эксплуатационное и финансовое обеспечение;

оказывать помощь войскам в восстановлении их боеспо­собности и ликвидации последствий ударов противника.

Для выполнения этих задач тыл располагает базами и складами с запасами материальных средств различного на­значения, специальными войсками (железнодорожными, ав­томобильными, дорожными и трубопроводными), вспомога­тельным флотом, инженерно-аэродромными, авиационно-техническими, ремонтными, медицинскими, ветеринарными и другими частями, подразделениями и учреждениями.

В соответствии с Федеральным законом «Об обороне» к вой­скам, не входящим в виды Вооруженных сил, относятся:

• войска Пограничной службы Федеральной службы без­опасности (ФСБ) РФ;
• внутренние войска Министерства внутренних дел РФ;
• железнодорожные войска;
• войска Федерального агентства правительственной свя­зи и информации (ФАПСИ) при Президенте Российской Федерации;
• войска Гражданской обороны;
• Национальная гвардия

Войска Пограничной службы предназначены для охра­ны Государственной границы РФ на суше, море, реках, озе­рах и иных водоемах. Непосредственное руководство этими войсками осуществляет Федеральная служба безопасности. Структурно эти войска состоят из пограничных округов, от­дельных соединений, "специальных частей (подразделений) и учебных заведений.

Внутренние войска предназначены для охраны государ­ственных объектов и выполнения других задач, возложенных на МВД РФ.

Исторически предшественниками внутренних войск были войска внутренней охраны советской республики, войска внутренней службы и войска Всероссийской чрезвычайной комиссии по борьбе с контрреволюцией и саботажем (ВЧК). Термином «внутренние войска» с 1921 г. обозначали части ВЧК, несущие службу во внутренних районах страны в от­личие от пограничных войск. В Великую Отечественную войну внутренние войска охраняли тылы фронтов и армий, несли гарнизонную службу в освобожденных районах, уча­ствовали в обезвреживании агентуры противника.

Железнодорожные войска предназначены для восста­новления, строительства, эксплуатации, заграждения и тех­нического прикрытия железных дорог, используемых для обеспечения воинских перевозок.

Организационно железнодорожные войска состоят из со­единений и различных специализированных частей. Они были созданы в период Гражданской войны, а в мирные годы выполняли работы по реконструкции существующих и со­оружению новых железных дорог.

За годы Великой Отечественной войны железнодорожными войсками совместно со специальными формированиями Нар­комата путей сообщения было восстановлено около 120 тысяч километров железных дорог.

Войска Федерального агентства правительствен­ной связи и информации при Президенте РФ предна­значены для обеспечения информационной безопасности.

Войска Гражданской обороны, — воинские формирова­ния, призванные решать задачи по ликвидации последствий чрезвычайных ситуаций. На вооружении войск Гражданской обороны находятся специальная техника и боевое ручное стрелковое и холодное оружие. Военнослужащим войск Граж­данской обороны выдаются удостоверения, подтверждающие их статус, и международные отличительные знаки.

Деятельность войск Гражданской обороны осуществляется с момента объявления государством состояния войны, фак­тического начала военных действий или введения Президен­том РФ военного положения на территории страны или в от­дельных ее местностях.

В мирное время войска Гражданской обороны, как уже указывалось ранее, осуществляют свою деятельность при сти­хийных бедствиях, эпидемиях, крупных авариях, катастро­фах, ставящих под угрозу здоровье населения и требующих проведения аварийно-спасательных и других неотложных ра­бот.

Специальные войска состоят из воинских частей и под­разделений, предназначенных для выполнения специ­альных задач по обеспечению боевой и повседневной деятельности Вооруженных сил.

Росгвардия. Федеральный орган исполнительной власти Российской Федерации. Создана 5 апреля 2016 года. Росгвардия является центральным органом управления Войсками национальной гвардии Российской Федерации, созданных на основе Внутренних войск МВД России.

В Российской Федерации имеются специальные войска, непосредственно подчиненные Министерству обороны, а так­же входящие в состав различных видов Вооруженных сил и тыла.

Наименование, состав, организация, вооружение и техни­ческое оснащение формирований специальных войск опреде­ляются их предназначением. В частности, к ним относятся инженерные войска, войска связи, войска радиационной, хи­мической и биологической защиты, радиотехнические части и топогеодезические подразделения. В состав тыла Вооружен­ных сил входят такие специальные войска, как автомобиль­ные, дорожные, железнодорожные, трубопроводные и др. Не­которые виды Вооруженных сил имеют свойственные только им специальные войска, например в ВВС есть части инже­нерно-авиационной службы.

 

Общее руководство Вооруженными силами Российской Федерации осуществляет Верховный главнокомандующий. Согласно Конституции и Закону «Об обороне» Верховным главнокомандующим Вооруженными силами является Пре­зидент Российской Федерации. В его компетенцию входит: осуществление оборонной политики; утверждение концеп­ции, планов строительства и применения армии и флота; на­значение и освобождение от должности высшего военного ко­мандования (от командира соединения и выше); присвоение высших воинских званий; издание указов о призыве граждан РФ на военную службу; объявление состояния войны в слу­чае вооруженного нападения на Российскую Федерацию. Вер­ховный главнокомандующий отдает приказы Вооруженным силам на ведение военных действий, а также осуществляет иные полномочия, возложенные на него Конституцией РФ и федеральными законами.

Непосредственное руководство Вооруженными силами осу­ществляет министр обороны Российской Федерации через ор­ганы управления Министерства обороны. Министерство обо­роны реализует политику в области строительства Вооруженных сил в соответствии с решениями высших органов государ­ственной власти Российской Федерации. Министерству обо­роны дается исключительное право заказа вооружений и во­енной техники, в том числе и для других силовых структур.

Основным органом оперативного управления войсками и силами флота Вооруженных сил является Генеральный штаб, осуществляющий руководство по вопросам планирования применения войск в целях обороны; Генштаб разрабатывает Федеральную программу совершенствования оперативного переоборудования военной промышленности страны, органи­зует мобилизационную подготовку, координирует планы соз­дания резервных войск для решения главной задачи — за­щиты России от нападений врага.

Вооруженные силы Российской Федерации состоят из ор­ганов управления, объединений, соединений, воинских ча­стей, учреждений, а также военно-учебных заведений.

Органы управления, предназначены для руководства войсками (силами) в различных звеньях. К ним относятся командования, штабы, управления, отделы и другие посто­янно и временно создаваемые структуры. Для размещения и работы органов управления в боевых условиях развертыва­ются мобильные пункты управления.

Объединения — это воинские формирования, включаю­щие несколько соединений или объединений меньшей чис­ленности, а также частей и учреждений (например, террито­риальные общевойсковые объединения — военные округа; оперативные объединения — армии, флотилии).

 

Соединениями являются воинские формирования, состо­ящие из нескольких частей или соединений меньшего соста­ва, а также частей и подразделений обеспечения и обслужи­вания. К соединениям относятся корпуса, дивизии, бригады и другие приравненные к ним воинские формирования.

Воинская часть — это организационно-самостоятельная боевая и административно-хозяйственная единица во всех видах Вооруженных сил Российской Федерации. К воинским частям относятся полки, корабли 1, 2, 3-го рангов, отдель­ные батальоны (дивизионы, эскадрильи), а также отдельные роты. Полкам, отдельным батальонам, дивизионам и эска­дрильям вручается боевое знамя, а кораблям Военно-морского флота — военно-морской флаг.

К учреждениям Министерства обороны, Российской Федерации относятся такие структуры обеспечения жизне­деятельности Вооруженных сил, как дома и клубы офицеров, военные музеи, редакции военных изданий, военно-медицин­ские учреждения, санатории, дома отдыха, турбазы и т.д.

К военно-учебным заведениям относятся военные ака­демии, университеты, институты, суворовские и нахимовские военные училища, кадетские корпуса, курсы подготовки и переподготовки офицерского состава.

Часть Вооруженных сил РФ может входить в состав кол­лективных вооруженных сил или находиться под объединен­ным командованием в соответствии с международными до­говорами Российской Федерации (например, в составе миро­творческих сил ООН или коллективных сил Содружества Не­зависимых Государств (СНГ) по поддержанию мира в зонах локальных военных конфликтов).

Комплектование Вооруженных сил личным составом осу­ществляется:

• военнослужащими: путем призыва граждан на военную службу и путем добровольного поступления граждан на военную службу;

• гражданским персоналом: путем добровольного посту­пления на работу.

Таким образом, развитие видов Вооруженных сил и родов войск тесно связано с развитием экономики государства, с возможностями по созданию новых, более совершенных об­разцов военной техники и вооружения, направлено на обе­спечение целостности территории государства и защиту его интересов. В соответствии с реальной обстановкой в России периодически проводятся военные реформы, направленные на создание такой организационно-штатной структуры Во­оруженных сил, которая максимально соответствовала бы принятой в государстве военной доктрине, а также позволя­ла с минимальными затратами максимально использовать боевые возможности военной техники и вооружения.

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определения вида и рода войск Вооруженных сил.

2. Какие задачи решают сухопутные войска?

3. Что вы знаете об устройстве Воздушно-космических сил?

4. Каково предназначение Военно-морского флота?

б. Расскажите о ракетных войсках стратегического назначения и их предназначении.

5. Какие задачи решают Космические войска?

6. Для чего предназначены Военно-воздушные войска?

7. Какие функции выполняет тыл Вооруженных сил?

8. Назовите войска, не входящие в виды Вооруженных сил.

9. Какие структуры относятся к учреждениям Министерства обо­роны Российской Федерации?

10. Как осуществляется комплектование Вооруженных сил личным составом?

                                                         Группа 401 "Математика"

29.12.2022

Тема занятия: "Скрещивающиеся прямые" 

Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых) и ее доказательство

Теорема (признак скрещивающихся прямых)

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство

Пусть нам дана плоскость α. Прямая АВ лежит в плоскости α, а прямая DC пересекается с плоскостью α в точке С, которая не лежит на прямой АВ (Рис. 1.). Докажем, что прямые АВ и DC являются скрещивающимися.

Рис. 1

Используем метод от противного. Предположим, что существует плоскость β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC. Тогда в плоскости β лежит прямая АВ и точка С. Через прямую и точку, не лежащую на ней проходит единственная плоскость - α. Значит, такой плоскости β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC, не существует. То есть, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. Теорема доказана.

Возможные случаи расположения прямых

Три случая расположения прямых

1) Прямые a и b пересекаются в некоторой точке С:  (Рис. 2.). Как мы знаем, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Рис. 2

2) Прямые a и b параллельны: a || b (Рис. 3.). Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Рис. 3

Заметим, что и в первом, и во втором случае прямые лежали в одной плоскости.

3) Прямые a и b скрещиваются (Рис. 4.). То есть прямые a и b не лежат в одной плоскости.

Рис. 4

Пример скрещивающихся прямых в треугольной пирамиде

Пример

Дана треугольная пирамида ABCD, АВС – плоскость основания, точка D не лежит в плоскости АВС (Рис. 5.). Почему прямые АВ и DC скрещивающиеся?

Рис. 5

Прямая DC пересекает плоскость АВС в точке С, не лежащей на прямой АВ, а прямая АВ лежит в плоскости АВС. Значит, по признаку, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. То есть противоположные ребра треугольной пирамиды лежат на скрещивающихся прямых.

Теорема 2 и ее доказательство

Теорема 2.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство.

Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой CD, и притом только одна.

Рис. 6

Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой DC (Рис. 6.). По теореме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственная. Тогда через две пересекающиеся прямые АВ и АЕ можно провести единственную плоскость α. Так как прямая DC, которая не лежит в плоскости α, параллельна прямой АЕ, лежащей в плоскости α,  значит, что прямая DC параллельна плоскости α, по признаку параллельности прямой и плоскости. Существование доказано.

Докажем единственность такой плоскости. Пусть существует другая плоскость β, которая проходит через прямую АВ и параллельна прямой DC. Тогда прямая АЕ пересекает плоскость β, а значит и параллельная ей прямая DC пересекает плоскость β, по лемме. То есть, прямая DC не параллельна плоскости β. Получили противоречие. Следовательно, плоскость α – единственная. Теорема доказана.

Задача 1

Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки M, N, P – середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN (Рис. 7.). Выясните взаимное расположение прямых.

Рис. 7

1) ND и AB.

Прямая ND - это другое обозначение прямой ВD. Прямая ВD и прямая АВ лежат в плоскости АВD и пересекаются.

2) PK и ВС.

Прямые PK и ВС лежат в одной плоскости. Значит, они либо параллельные, либо пересекаются. Проведем среднюю линию NP (N, P – середины отрезков DB и DC соответственно). По свойству средней линии, прямая NP параллельна прямой ВС. Через точку Р можно провести только одну прямую, параллельную прямой ВС, и это прямая NP. Значит, любая другая прямая, проходящая через точку Р, не параллельна прямой ВС. Значит, PK и ВС пересекаются.

3) MN и AB.

В треугольнике ABD точки M и N – середины сторон АD и ВD. Значит, МN – средняя линия. По свойству средней линии, МN параллельна АВ.

4) МР и АС.

В треугольнике ADС точки M и Р – середины сторон АD и СD. Значит, МР – средняя линия. По свойству средней линии, МР параллельна АС.

5) КN и АС.

Прямая КN и прямая ВD – это одна и та же прямая. Прямая АС лежит в плоскости АВС, прямая  ВD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой АС. Значит, по признаку, прямые ВD и АС – скрещивающиеся. То есть, прямые КN и АС- скрещивающиеся.

6) МD и ВС.

Прямая МD и прямая АD – это одна и та же прямая. Прямая ВС лежит в плоскости АВС, прямая  АD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой ВС. Значит, по признаку, прямые АD и ВС – скрещивающиеся. То есть, прямые МD и ВС – скрещивающиеся.

Задача 2

Докажите, что если АВ и СD скрещиваются, то АD и ВС тоже скрещиваются.

Доказательство

Предположим, что прямые АD и ВС не скрещивающиеся, то есть лежат в одной плоскости. Значит, все точки А, В, С, D лежат в этой плоскости, значит прямые АВ и СD тоже лежат в этой плоскости. Но прямые АВ и СD скрещивающиеся по условию. Получили противоречие. Значит, прямые АD и ВС – скрещивающиеся.

   Выполнить задания по учебнику  "Геометрия 10-11 класс" 

                                     №37, 38, 39 стр 19

                                                              Группа 401 "Математика"

29.12.2022

Тема занятия: "Параллельность прямой и плоскости"

Аксиома А2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.

Отсюда следуют три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве.

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости

1. Прямая лежит в плоскости (рис. 1).

Рис. 1

2. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то есть пересекаются (рис. 2).

Рис. 2

3. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки (рис. 3).

Рис. 3

Определение параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой а и плоскости α обозначается так: (рис. 4)

Рис. 4 Плоскость параллельная прямой

Примеры из жизни параллельности прямой и плоскости

Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода. В идеале, они параллельны плоскости земли (рис. 5).

Рис. 5

Другой пример дает линия пересечения стены и потолка (рис. 6). Эта линия параллельна плоскости пола. А пол - это плоскость параллельная прямой. Заметим, что в плоскости пола имеется прямая, параллельная этой линии. Такой прямой является, например, прямая пересечения пола с той же самой стеной. На рисунке указанные прямые обозначены как а и b.

Рис. 6

Оказывается, что если в плоскости α имеется прямая b, параллельная прямой а, не лежащей в плоскости α, то прямая а и плоскость α параллельны (рис. 7). Другими словами, наличие в плоскости α прямой b, параллельной прямой а, является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости α. Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Рис. 7

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) и ее доказательство

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство:

Рассмотрим плоскость α и две параллельные прямые а и b, прямая b лежит в плоскости α, а прямая а не лежит в этой плоскости (рис. 7). Докажем, что прямая а параллельна плоскости α.

Рис. 8

Предположим, это не так, то есть что прямая а пересекается с плоскостью α (рис. 8). Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми (лемма приведена ниже), прямая b тоже пересекается с плоскостью α. Но это невозможно, так как прямая b по условию лежит в плоскости α. Итак, прямая а не пересекает плоскость α, поэтому она параллельна плоскости. Теорема доказана.

Лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Докажем еще два утверждения, которые часто используются при решении задач.

Утверждение 1 и его доказательство

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

           

Рис. 9

Доказательство:

Итак, пусть через прямую а, параллельную плоскости α, проходит плоскость , пересекающая плоскость α по прямой b (рис. 9). Докажем, что прямые а и b параллельны.

Действительно, прямые а, b лежат в одной плоскости  и не пересекаются, ведь в противном случае прямая а пересекала бы плоскость α, что невозможно, так как по условию прямая а параллельна плоскости α. Значит прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Утверждение 2 и его доказательство

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Рис. 10

Рис. 11

Доказательство:

Пусть а и b – параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости α. Следовательно, прямая а не пересекает плоскость α. Тогда, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая b тоже не пересекает плоскость α. А это значит, что прямая b либо параллельна плоскости α (рис. 10), либо лежит в ней (рис. 11), что и требовалось доказать.

 

   Выполнить задания по учебнику  "Геометрия 10-11 класс" 

                                   №23 24 25 стр 13

                                                          Группа 401 "Математика"

28.12.2022

Тема занятия: "Следствия из аксиом" 

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 

Аксиома 3 (А3).

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Решение задачи

Рис. 1.

Дано: ABCD – плоский четырехугольник,  (Рис. 1.)

Требуется:

Найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС.

Решение:

Итак, дана плоскость четырехугольника АВСD, т.е. АВСD – плоский четырехугольник. Все вершины лежат в одной плоскости. Точка М не лежит в плоскости этого четырехугольника. Надо найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС.

И точка М, и точка В принадлежат и плоскости МАВ, и плоскости МВС.

Значит, МВ искомая линия пересечения, . Посмотрим на Рис. 1. МВА – одна плоскость. МВС – вторая плоскость. МВ – линия их пересечения.

Ответ: прямая МВ.

Теорема 1 и ее доказательство

Рис. 2.

Дано:

Прямая , .

Доказать:

1) Существует плоскость .

2) Плоскость  единственна

Доказательство первого пункта:

Докажем, что существует плоскость . На прямой  Выберем любые две точки Р и Q:  . Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой.

По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость , которая содержит и прямую , и точку М, существует.

Доказательство второго пункта:

Следует доказать единственность такой плоскости.

Предположим, что существует иная плоскость , которая проходит и через точку М, и через прямую . Например, это будет плоскость, проходящая через точки ,  прямой , и точку . Но тогда эта плоскость  проходит и через прямую , и через точку М, а значит, и через точки Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M, не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость. Значит, эта плоскость  совпадает с плоскостью . Значит, единственность доказана. Вся теорема доказана.

Теорема 2 и ее доказательство

Рис. 3.

Дано:

Доказать:

1) Существует плоскость .

2) Такая плоскость  единственна.

Доказательство:

На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть  .

Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой . По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью . Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую  и точку N, существует. Но эта плоскость также проходит и через всю прямую b, так как две точки М и N прямой b лежат в этой плоскости. То есть и прямая  и прямая b принадлежат плоскости  Значит, существует такая плоскость, которая проходит через две пересекающиеся прямые, что и требовалось доказать в первом пункте.

Докажем единственность этой плоскости.

Предположим противное. Пусть существует иная плоскость , такая, которая проходит и через прямую , и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую , и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость   совпадает с плоскостью .

Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.

Решение задачи 1

Рис. 4.

Дано:  – куб

Какой плоскости принадлежат отрезок АВ и точка ?

Решение:

Способ 1

Через прямую АВ и точку  можно провести плоскость, и притом только одну, в силу теоремы 1.

Способ 2

  – прямая, точка В не лежит на этой прямой. Значит, через прямую  и точку В можно провести плоскость, и притом только одну, то есть плоскость .

Способ 3

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АВ и .

В силу теоремы 2, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость .

Способ 4

В силу 1 аксиомы, через 3 точки А, В, , не лежащие на одной прямой проходит единственная плоскость .

Ответ: отрезок АВ и точка  принадлежат плоскости .

Решение задачи 2

Найдите прямую пересечения плоскостей  и .

Решение:

И точка  и точка   входят и в плоскость    и в плоскость . То есть, обе точки  и  одновременно лежат в двух плоскостях и  является линией их пересечения: 

Ответ:

Решение задачи 3

Какие плоскости пересекаются в точке А?

Мы знаем, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Другие две плоскости тоже могут пересекаться по прямой. А эти две прямые, если пересекаются, то дают точку.

Нужно узнать, какие плоскости содержат точку А

Во-первых, это плоскость АВС, т.е. плоскость нижней грани АВСD(но для названия  плоскости достаточно 3 точек, не лежащих на прямой). Итак, первая плоскость – нижнее основание АВС.

Вторая плоскость , или . Третья плоскость . Все 3 плоскости содержат точку А. Пересечением этих трех названных плоскостей является точка А.

Ответ: 

   Выполнить задания по учебнику  "Геометрия 10-11 класс" 

                                     №10, 11, 12 стр 8