Сергей Александрович Лазарев

Группа 206 "Математика"

Тема: "Действительные числа"

Тема урока: "Суммирование последовательностей"

Пусть задан числовой ряд

(1)

и последовательность его частичных сумм

. (2)

Ряд (1) может быть сходящимся или расходящимся.

Последовательность

(3)

называется последовательностью средних арифметических последовательности или ряда (1). Легко подсчитать, что

Таким образом, члены суммы отличаются от соответствующих членов частной суммы ряда (1) тем, что последние умножаются на числа , меньшие единицы. Поэтому, если последовательность расходится, то может случиться, что последовательность все же сходится.

По определению ряд (1) (или последовательность ) суммируется методом средних арифметических к числу , если существует предел

. (4)

Т е о р е м а. Если ряд (1) сходится к числу , то он суммируется методом средних арифметических и притом к тому же числу .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд (1) сходится; тогда существует такое число , что

, (5)

и такое достаточно большое натуральное число , которое мы будем считать фиксированным (а , и в дальнейшем - переменными), что

. (6)

Имеем, далее,

откуда, учитывая, что

получим

если достаточно велико. Следовательно, или, что все равно, , т. е. теорема верна.

П р и м е р 1. Рассмотрим сходящийся ряд . Здесь

Отсюда

П р и м е р 2. Ряд расходится, но он суммируется к числу методом средних арифметических.

В самом деле, для данного ряда .

Поэтому

;

Наряду с последовательностью средних арифметических ряда (1) можно рассматривать произвольные средние ряда (1), определяемые равенством

, (7)

где - произвольная последовательность действительных чисел, вообще говоря, зависящая от . Эти числа можно было бы обозначить через . Однако ради краткости будем писать вместо .

Если , то .

Если существует предел

, (8)

то говорят, что ряд (1) суммируем методом средних к числу .

Естественно возникает вопрос, при каких сходящийся к ряд (1) суммируется методом к числу .

Чтобы ответить на этот вопрос, будем считать, что ; при ; .

Тогда

. (9)

Имеет место преобразование Абеля следующего вида (см. также § 9.8):

где .

Тогда

, (10)

где - частичные суммы ряда (1).

Далее, используя (9), имеем

. (11)

Применяя в (11) неравенство Буняковского, получим

. (12)

Теперь, если ряд (1) сходится к числу (сумме ряда), то последовательность сходится к нулю. Средние арифметические этой последовательности, по доказанному выше, также сходятся к нулю.