Сергей Александрович Лазарев

Группа 205 "Математика"

Тема: "Многогранники"

Тема занятия: "Призма"

Если основание призмы — n-угольник, призма называется n-угольной (рис. 189, а).

Рис. 189

Введём ряд понятий, связанных с призмой. Так как основания любого цилиндра равны друг другу, то оба основания призмы являются равными друг другу многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях (свойство 2 п. 18.1). Соответственные стороны этих многоугольников параллельны.

Каждая пара соответственных сторон оснований призмы является противоположными сторонами параллелограмма, заполненного образующими призмы (рис. 189, б). Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы. Те стороны боковых граней, которые не лежат на основаниях, называются боковыми рёбрами призмы.

Объединение боковых граней призмы называется её боковой поверхностью. Поверхностью призмы является объединение оснований призмы и её боковой поверхности.

Тем самым n-угольная призма ограничена двумя равными n-угольниками — основаниями — и n боковыми гранями — параллелограммами. Любой из этих параллелограммов имеет с каждым основанием по одной общей стороне. Итак, мы пришли к определению n-угольной призмы, данному в п. 5.5. А из построения призмы, проведённого в п. 5.5, вытекает, что построенная там призма — это цилиндр, основание которого — многоугольник (см. п. 18.2).

Поскольку призма — цилиндр, то все понятия, относящиеся к цилиндрам, относятся к призмам. Например, высота призмы — это общий перпендикуляр к плоскостям, на которых лежат основания призмы (или его длина). Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований (см. рис. 71, а). Непрямые призмы называют наклонными (см. рис. 189).

Перпендикулярным сечением призмы называется проекция её основания на любую плоскость, перпендикулярную боковым рёбрам призмы (рис. 190). Все перпендикулярные сечения одной призмы равны друг другу. Перпендикулярные сечения прямой призмы равны её основаниям.

Рис. 190

Напомним, что правильной призмой называется прямая призма, основание которой — правильный многоугольник (см. рис. 71, б).

Задание №1

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 21см и 9 см и высотой 8 см (рис. 3). Найдите площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно 10 см.

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 5). ВН и CG – высоты трапеции. AD = 21см, BC = 9см. Так как трапеция ABСDравнобокая, то HG = BC = 9 см, (см).

Рис. 5

Рассмотрим треугольник ∆АВН и найдем сторону АВ по теореме Пифагора:

Найдем периметр основания.

Применяем формулу для площади боковой поверхности:

Ответ: 500 см2

Задание №2

Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство проведём на примере треугольной призмы.

Рис. 6

Рассмотрим треугольную призму АВСА1В1С1. Построим плоскость перпендикулярного сечения. На ребре ВВ1 выберем точку К (рис. 7). Через точку К можно проведем перпендикуляр KL в плоскости этой грани АА1В1В к ребру ВВ1. Этот перпендикуляр будет перпендикуляром и к АА1, так как прямые АА1 и ВВ1 параллельны..

Теперь проведем перпендикуляр КМ перпендикулярно ребру ВВ1 в плоскости грани ВВ1С1С.

Получаем, что боковое ребро ВВ1 перпендикулярно двум пересекающимся прямым KL и КМ плоскости KLM. Значит, ВВ1 - перпендикуляр к плоскости KLM.

То есть, построенное сечение KLM перпендикулярно боковому ребру. Надо доказать, что площадь боковой поверхности равняется произведению периметра перпендикулярного сечения KLM на боковое ребро ВВ1. То есть, имеем следующую задачу.

Рис. 7

Дано: АВСА1В1С1 – наклонная призма,

ВВ1 ⊥ KLM.

Доказать:

Доказательство:

Любая боковая грань призмы – это параллелограмм. Рассмотрим грань АВВ1А1. KL – это высота параллелограмма АВВ1А1. Поэтому площадь параллелограмма АВВ1А1 записывается следующим образом: