Группа 401 "Математика"

16.11.2022

Тема занятия: Решение задач по теме "Координаты и векторы"

Чтобы ввести декартову систему координат в пространстве, выберем точку 

Б) Вы знаете, что по координатам концов  и  отрезка  на плоскости можно определить его длину:

Аналогичная формула выражает длину отрезка  в пространстве через координаты его концов  и 

Чтобы доказать эту формулу, рассмотрим плоскости, которые проходят через точки  и  перпендикулярно координатным осям. Получаем, что отрезок  по сути является диагональю прямоугольного параллелепипеда, рёбра которого параллельны координатным осям и имеют длины 

и  (рис. 334) (если же какие-либо из проведённых плоскостей совпадут, то параллелепипед превратится в прямоугольник или отрезок).

Ранее вы доказывали, что координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это утверждение остаётся истинным и в случае пространства (см. пример 2 в § 6): если  и точка  — середина отрезка  то

Пример:

На оси ординат найдём точку, равноудалённую от точек  и 

Решение:

Пусть  — искомая точка. Тогда  и, поскольку  то

или  Отсюда 

Ответ: 

Пример:

Найдём условие, задающее геометрическое место точек, равноудалённых от начала координат и от точки 

Решение:

Согласно геометрическим соображениям искомое множество состоит из всех тех точек, размещённых на серединных перпендикулярах к отрезку  Такие точки заполняют плоскость, проходящую через середину отрезка перпендикулярно ему. Найдём условие, которому удовлетворяют координаты  произвольной точки  этой плоскости. Условие  означает, что

Ответ: Искомое геометрическое место точек есть плоскость, которая задаётся уравнением 

Пример:

Найдём условие, которому удовлетворяют координаты точек плоскости  проходящей через точку  перпендикулярно прямой  где 

Решение:

Пусть  — произвольная точка плоскости  Тогда из прямоугольного треугольника  по теореме Пифагора имеем: 

Поскольку

 то

 или

Ответ: 

Вектор. Действия над векторами

А) С векторами вы встречались в курсе физики девятого класса, когда знакомились с векторными величинами. Физическая величина является векторной, если она характеризуется не только числовым значением, но и направлением. Такие величины, как сила, скорость и другие, обозначают направленными отрезками. Длина направленного отрезка (стрелки) характеризует числовое значение векторной величины (её модуль).

Особенностью понятия вектор является то, что все основные определения и свойства, связанные с этим понятием, формулируются почти одинаково как в планиметрии, так и в стереометрии.

Вектор в геометрии представляется направленным отрезком (рис. 336), начало которого считается началом вектора, а конец — концом вектора.

Расстояние между началом направленного отрезка и его концом считается длиной вектора.

Направленные отрезки  и  представляют один вектор, если они одинаково направлены и имеют одинаковую длину (рис. 337). В таком случае говорят, что векторы  и  равны, и пишут  Векторы  и  равны тогда и только тогда, когда совпадают середины отрезков  и  (рис. 338).

Это напоминает ситуацию с дробями: определённое число может представляться разными дробями, например, дроби  представляют одно и то же число. Дроби  и  равны тогда и только тогда, когда 

Если вектор  изображается направленным отрезком  то говорят, что этот вектор отложен от точки  Вектор можно, и при этом однозначно, отложить от любой точки.

Вектор, представленный направленным отрезком  называют нулевым:  Векторы, представленные направленными отрезками  и  называют противоположными и пишут 

Если ненулевые векторы  и  отложены от одной точки:   то угол  называется углом между векторами  и .

Ненулевые векторы  и  называют коллинеарными, если прямые  и  параллельны или совпадают. Нулевой вектор считают кол-линеарным с любым вектором.

Векторы можно складывать и умножать на число. Чтобы сложить векторы  и  можно один из них заменить таким равным ему вектором, чтобы конец первого направленного отрезка совпадал с началом второго:

и тогда сумма векторов представляется направленным отрезком  (рис. 339).

Сложение векторов имеет переместительное свойство, т. е.  сочетательное свойство, т. е.  кроме того, уравнение  всегда имеет единственное решение, которое называют разностью векторов  и  (рис. 340).

Произведением вектора  на число  является такой вектор  что, во-первых, векторы  и  одинаково направлены при  и противоположно направлены при  и, во-вторых, длины векторов  и  связаны равенством  (рис. 341). Векторы  и  являются коллинеарными. При этом верно равенство  Если  то произведением  является нулевой вектор.

С действием умножения вектора на число связываются два распределительных свойства—  и 

Б) Если векторы  и  коллинеарны, то один из них можно выразить через другой: либо либо  при определённых числах  и 

Для любых двух векторов существует плоскость, которой они параллельны. Векторы, параллельные одной плоскости, называют компланарными. Если векторы  и  неколлинеарны, то любой вектор  компланарный с ними, можно однозначно выразить через векторы  и :  (рис. 342).

Истинно и обратное утверждение: если векторы  и  связаны равенством  то они компланарны.

Действительно, если векторы  и  представить направленными отрезками с общим началом  (рис. 343), то  поэтому точки  и  находятся в плоскости 

Теорема 1. Если векторы  и  некомпланарны, то для любого вектора  существует такая единственная упорядоченная тройка действительных чисел  что 

Доказательство: Сначала докажем существование нужных чисел. Представим векторы  и  направленными отрезками с общим началом  Через точку  проведём прямую  параллельно  и пусть  — точка пересечения прямой  с плоскостью  (рис. 344). Тогда  Поскольку вектор  ненулевой и векторы  и  коллинеарны, то существует такое число  что  А поскольку векторы  и  компланарны, а векторы  и  неколлинеарны, то существуют такие числа  и  что 

Поэтому

Теперь докажем единственность представления. Допустим, что существуют две разные упорядоченные тройки чисел  и  при которых  и  Тогда  и 

Поскольку тройки чисел  и  различны, то числа на соответствующих местах не могут все совпадать. Пусть, например,  В этом случае из последнего равенства можно выразить вектор  Последнее равенство означает, что векторы  и  компланарны. Полученное противоречие с условием означает, что сделанное допущение о существовании двух разных троек чисел неверно.

Домашнее задание: 

                                                     Учебник: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №403, 404, 407, 409,410 стр 108