Группа 401 "Математика"
21.11.2022
Тема занятия: "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия"
Вернемся к формуле суммы геометрической прогрессии:
Рассмотрим случай, когда:
Если мы будем возводить такое число во все большую и большую степень, то оно будет становиться все меньше и меньше. Например:
И если мы возьмем очень большое 
, то 
уменьшится практически до нуля:
Более строго в математике это записывают так:
Если мы возьмем бесконечное большое значение , то будем считать равным нулю.
Что это значит для нашей формулы суммы геометрической прогрессии? Это значит, что сумма бесконечного количества членов геометрической прогрессии при будет равна:
Например, при 
получим:
Но как так? Мы складываем бесконечно количество положительных чисел, а получаем 
? Посмотрим, что это за числа в нашем примере:
Представьте: у вас есть торт. Вы разрезали его пополам, съели половину 
(см. рис. 3).
Рис. 3. Торт разрезали пополам и съели половину
Оставшуюся половинку разрезали еще пополам и съели одну часть 
(см. рис. 4).
Рис. 4. Оставшуюся половину торта разрезали пополам и съели одну часть
Теперь вы съели 
торта. Оставшуюся половинку делите еще пополам и берете одну часть 
.
Рис. 5. Оставшуюся половину торта разрезали пополам и съели одну часть 
Итого:
И так вы можете делить до бесконечности! В итоге, если это действительно происходило бесконечное количество раз, то вы бы съели весь торт.
Но бесконечность – это все же математическая абстракция. Мы не можем есть торт бесконечно. И за очень большое, но все же конечное число таких операций мы бы съели почти весь торт:
Решение задачи с использованием формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии вы можете посмотреть ниже.
Задача с бесконечной геометрической прогрессией
Задача 1. Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии 
, сумма которой равна 
, а второй член равен 
.
Решение.
Для решения задачи будем использовать формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии и n-го члена геометрической прогрессии:
Учитывая, что 
, составим и решим систему:
Разделим почленно второе уравнение системы на первое:
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней уравнения:
Откуда:
Значение 
не удовлетворяет условию . Следовательно:
Тогда:
Ответ:
Комментариев нет:
Отправить комментарий