Сергей Александрович Лазарев

Группа 401 "Математика"

20.01.2023

Тема занятия: "Перпендикулярность прямой и плоскости"

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если в плоскости есть две пересекающиеся прямые и и прямая перпендикулярна этим двум прямым и проходит через точку их пересечения, то прямая перпендикулярна плоскости (рис. 2).

Рис. 2

Если прямая перпендикулярна плоскости и прямая перпендикулярна плоскости , то прямые и параллельны (рис. 3).

Рис. 3

Наклонная к плоскости и ее проекция, угол между наклонной и плоскостью

Определение: если прямая пересекается с плоскостью и не перпендикулярна этой плоскости, то такая прямая называется наклонной к плоскости (рис. 4).

Рис. 4

Существует возможность узнать угол между наклонной прямой и плоскостью . Для этого необходимо провести из точки B, принадлежащей наклонной, перпендикуляр BH к плоскости , а затем соединить точки пересечения плоскости с наклонной и перпендикуляром. Полученный отрезок AH называется проекцией наклонной на плоскость . Угол между наклонной и ее проекцией на плоскости и называется углом между наклонной и плоскостью () (рис. 5).

Рис. 5

Замечание: если провести любую прямую в плоскости , отличную от проекции, то угол, между проведенной прямой и наклонной всегда будет больше, чем между наклонной и ее проекцией.

Теорема о трех перпендикулярах с доказательством

Теорема о трех перпендикулярах: Прямая лежит в плоскости . Наклонная AB проходит через прямую (). Опустим на плоскость перпендикуляр BH и получим проекцию AH. Если наклонная AB перпендикулярна прямой на плоскости , то ее проекция AH тоже перпендикулярна прямой . Обратно: если проекция AH перпендикулярна прямой , то и наклонная AB перпендикулярна (рис. 6).

Рис. 6

Доказательство:

Дана наклонная AB, перпендикулярная прямой на плоскости . Доказать, что проекция AH наклонной AB перпендикулярна .

Доказательство: прямая перпендикулярна AB по условию, и перпендикулярна BH, так как BH перпендикулярна ко всей плоскости , а значит и к любой прямой внутри нее. Прямая перпендикулярна прямым AB и BH, и прямые AB и BH пересекаются в точке B. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна любой прямой из плоскости (ABH), образованной прямыми AB и BH, а значит, она перпендикулярна и проекции AH.

Решение задачи

Задача №1:

Через точку пересечения диагоналей квадрата ABCD, сторона которого равна , проведена прямая OK, перпендикулярная плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки K до вершин квадрата, если (рис. 7).

Рис. 7

Решение

– по двум катетам, так как это прямоугольные треугольники (OK перпендикулярен всем прямым плоскости квадрата, включая диагонали этого квадрата) и катет OK общий, а вторые катеты треугольников равны (это следует из свойств квадрата – его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, значит ).

Так как треугольники равны, то и их гипотенузы, являющиеся искомым расстоянием от точки K до вершин квадрата, также равны. Следовательно, нам необходимо найти длину лишь одной из гипотенуз, например, AK.

Рассмотрим треугольник ABO: это прямоугольный треугольник с равными катетами, так как диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, углы и равны , и из условия известно, что гипотенуза равна – значит, можно найти катеты: