Группа 401 "Математика 

Тема занятия: "Признак перпендикулярности прямой и плоскости"

Перпендикулярность прямой и плоскости

Мы занимаемся изучением простейших объектов в пространстве – точек, прямых и плоскостей, их свойств, а также отношений между ними. Многие из полученных нами результатов будут техническими, то есть будут нужны исключительно для доказательства более сложных и полезных на практике утверждений и теорем.

Поэтому гораздо важнее запоминать не все эти факты, леммы и теоремы, а общие идеи – каким может быть взаимное расположение объектов, какие отношения между ними можно ввести и т. д.

Рассматривая две прямые на плоскости, мы говорили об отношении между ними – угле, который они образуют.

В пространстве могут быть два случая: прямые лежат в одной плоскости (параллельны или пересекаются, причем как определить угол между ними, мы знаем из планиметрии) (см. рис. 1); прямые скрещиваются, то есть не лежат в одной плоскости (см. рис. 2).

Рис. 1. Прямые лежат в одной плоскости

Рис. 2. Прямые не лежат в одной плоскости

На прошлом уроке мы расширили понятие угла между прямыми и для скрещивающихся прямых, сведя его к уже известному нам понятию угла между прямыми в плоскости: если прямые  и  скрещиваются, то угол между ними – это угол между прямой  и любой прямой , которая лежит с  в одной плоскости и параллельна  (см. рис. 3).

Рис. 3. Угол между скрещивающимися прямыми

Можно привести такой пример: если мы посветим на какую-то плоскость, то тени от скрещивающихся прямых  и  на этой плоскости будут пересекаться под тем же углом, что и сами эти прямые (см. рис. 4).

Рис. 4. Тени от скрещивающихся прямых  и  пересекаются под тем же углом

Итак, для любой пары прямых в пространстве можно ввести отношение между ними – угол.

Мы выделяли два особых случая расположения прямых – параллельность и перпендикулярность (когда все углы, которые образуются при пересечении, одинаковы). О параллельности мы подробно поговорили на прошлом уроке, рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве.

Определение останется неизменным: две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними прямой. Прямой угол может быть между пересекающимися или скрещивающимися прямыми.

Для примера рассмотрим куб. Пересекающиеся прямые  и  являются перпендикулярными, но и скрещивающиеся прямые  и  тоже являются перпендикулярными, так как в силу параллельности  и  угол между прямыми такой же (см. рис. 5).

Рис. 5. Перпендикулярные скрещивающиеся прямые

 

Этот пример можно обобщить до следующего утверждения.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, то и вторая перпендикулярна этой прямой (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к лемме: 

Доказательство непосредственно следует из определения угла между двумя прямыми в пространстве. Частный случай этого утверждения мы формулировали в планиметрии для прямых, лежащих в одной плоскости.

Прямая и плоскость могут быть параллельны, пересекаться в одной точке или прямая может лежать в плоскости (см. рис. 7).

Рис. 7. Варианты взаимного расположения прямой и плоскости

Рассмотрим подробнее второй случай. Несложно увидеть, что прямая может быть наклонена в любую из сторон больше или меньше, но есть один особый случай – когда прямая не отклоняется ни в одну из сторон, а расположена строго вертикально относительно плоскости. В таком случае говорят о перпендикулярности прямой и плоскости (см. рис. 8).

Рис. 8. Угол между прямой и плоскостью

Все мы понимаем, как расположить карандаш перпендикулярно листу бумаги, чтобы он не упал. Но это интуитивное определение, для использования этого математического инструмента нам понадобится точное.

Естественное желание – использовать уже сформулированное определение для перпендикулярности прямых: «прямая перпендикулярна плоскости, если она составляет с ней прямой угол». И это, конечно, верно. Но дело в том, что понятие угла между прямой и плоскостью мы пока не ввели.

Попробуем пойти другим путем. Начертим на листе бумаги несколько прямых – пересекающихся, параллельных, каких угодно (см. рис. 9).

Рис. 9. Начерченные прямые на листе бумаги

Снова приставим карандаш перпендикулярно листу бумаги. Легко видеть, что все начерченные прямые будут перпендикулярны карандашу. Действительно, чтобы карандаш не падал ни в одну из сторон, он должен в любом направлении вдоль плоскости образовывать одинаковые углы (см. рис. 10).

Рис. 10. Все начерченные прямые перпендикулярны карандашу

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым этой плоскости.

Из этого определения и леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей получаем следующую теорему.

 

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Доказательство

Первая прямая перпендикулярна плоскости, значит, она перпендикулярна всем прямым в этой плоскости. Значит, вторая прямая тоже им всем перпендикулярна, а это значит, что она перпендикулярна самой плоскости (см. рис. 11):

Рис. 11. Иллюстрация к доказательству

Доказано.

 

Верна и обратная теорема: если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны друг другу.

Попробуйте доказать это утверждение сами, а мы его разберем на следующем практическом уроке.

 

Чтобы показать перпендикулярность прямой и плоскости с помощью определения, нужно показать перпендикулярность этой прямой всем прямым в плоскости. На самом деле это требование излишне.

Если вы положите карандаш на стол, то второй карандаш перпендикулярно приставить к нему вы можете множеством способов. Он может лежать в плоскости стола, быть перпендикулярным столу или составлять с ним любой угол. Но если на столе лежат два пересекающихся карандаша, то третий карандаш расположить перпендикулярно им обоим можно только одним способом – перпендикулярно плоскости стола.

Это утверждение является очень удобным признаком перпендикулярности и формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к теореме

Обратите внимание, что пересечение прямых в плоскости является важным условием – если бы прямые были параллельны, то перпендикулярность одной из них автоматически означала бы перпендикулярность и второй, то есть никакой дополнительной информации нам бы вторая параллельна прямая не давала. И утверждать перпендикулярность прямой и плоскости было бы нельзя. Эта ситуация чем-то напоминает решение системы линейных уравнений: если оба уравнения задавали одну и ту же прямую, то, по сути, давали одну и ту же информацию, одно не дополняло, а дублировало другое. Поэтому у системы оказывалось не одно, а бесконечно много решений.

 

Задача 1. Доказать, что для данной точки пространства и данной прямой существует плоскость, проходящая через эту точку и перпендикулярная данной прямой.

Легко представить, о чем речь. Если взять карандаш и любую точку в пространстве рядом с карандашом или прямо на карандаше, после этого насадить на карандаш лист бумаги и продвинуть его до положения, чтобы точка оказалась на листе, то мы получим плоскость, перпендикулярную прямой и проходящую через данную точку (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче

Со строгим доказательством этого утверждения можно ознакомиться ниже.

---

 

Доказательство

Проведем через прямую  две плоскости  и  так, чтобы  проходила через точку .

Проведем в плоскости  прямую  через точку  перпендикулярно прямой .

Через точку их пересечения уже в плоскости  проведем прямую , перпендикулярную .

Две прямые пересекающиеся прямые  и  задают плоскость . Прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, значит, перпендикулярна самой плоскости (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к доказательству

Итак, мы доказали существование такой плоскости. Точка  не лежала на прямой. Но если бы лежала, то это не повлияло бы на наше доказательство.

Докажите самостоятельно единственность такой плоскости. Метод от противного подойдет.

---

Верно и симметричное утверждение.

Теорема. Через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости, причем только одна.

  Выполнить задания по учебнику  "Геометрия 10-11 класс" 

                                     №124, 125, 126 стр 39