Сергей Александрович Лазарев

Группа 306 "Математика"

Тема занятия: "Иррациональные уравнения"

Иррациональными называются уравнения, которые содержат переменную под знаком корня.

Например, , .

При решении иррациональных уравнений их пытаются свести к рациональным уравнениям. Мы знаем, что обратная операция к извлечению корня – это возведение в степень. Поэтому большинство иррациональных уравнений решается однократным или многократным возведением обеих частей уравнения в некоторую степень.

Мы знаем, что при возведении в чётную степень . Поэтому при возведении обеих частей уравнения в чётную степень мы получим уравнение , решая которое мы найдём не только корни исходного уравнения, но и корни уравнения . Поэтому при таком способе решения необходимо либо оговаривать знаки функций , до возведения в степень, либо в конце сделать проверку – подставить полученные значения в исходное уравнение и проверить, являются ли они его корнями.

Например, если возвести уравнение в квадрат, то получим , корни которого . При проверке выясняется, что не является корнем исходного уравнения. Поэтому если при решении иррационального уравнения мы будем возводить обе части в чётную степень, то в конце обязательно будем выполнять проверку.

При возведении в нечётную степень таких проблем не возникает, так как минус при возведении в нечётную степень снова даёт минус. Например, уравнения и равносильны, так как имеют одинаковый действительный корень .

Первый тип иррациональных уравнений, который мы рассмотрим:

Алгоритм их решения следующий:

1) Возводим обе части уравнения в n-ю степень:

2) Находим корни уравнения, полученного на первом шаге алгоритма: .

3) Выполняем проверку (если – чётное). Подставляем каждый корень в исходное уравнение. Если получаем верное равенство, то корень подходит. Если неверное равенство, то нет.

Пример

Решить уравнения:

1) ,

2) ,

3) ,

4) – уравнение типа B7.

Решение

1) В левой части стоит корень второй степени, чтобы избавиться от него, возведём обе части уравнения во вторую степень:

Решаем полученное уравнение:

Выполним проверку. Подставим найденный корень в исходное уравнение.

Значит, корень 3 подходит.

2) В левой части стоит корень второй степени, чтобы избавиться от него, возведём обе части уравнения во вторую степень:

Выполним проверку. Подставим найденный корень в исходное уравнение:

Значит, число не является корнем исходного уравнения. Таким образом, уравнение решений не имеет.

На самом деле то, что уравнение не имеет решений, можно сказать сразу. Так как в левой части стоит квадратный корень, а он принимает только неотрицательные значения, а в правой части стоит – отрицательное число.

3) В левой части стоит корень третьей степени, чтобы избавиться от него, возведём обе части уравнения в третью степень:

Так как степень корня нечётная, проверку можно не выполнять.

4) В левой части стоит корень второй степени, чтобы избавиться от него, возведём обе части уравнения во вторую степень:

Воспользуемся правилом пропорции

Выполним проверку. Подставим найденный корень в исходное уравнение:

Значит, число является корнем исходного уравнения.

2. Решение уравнений вида и

Такие уравнения решаются по тому же алгоритму, что и уравнения вида для :

1) Возводим обе части уравнения в квадрат.

2) Решаем полученное уравнение.

3) Выполняем проверку.

Пример

Решить уравнения:

1) – уравнение типа B7,

2) ,

3) .

Решение

1) Возводим обе части уравнения в квадрат:

Получили квадратное уравнение. Решим его:

Выполним проверку:

Ответ: ; .

2) Возводим обе части уравнения в квадрат.

Выполним проверку.

Ответ: .

3) Возводим обе части уравнения в квадрат.

Получили квадратное уравнение. Решим его:

Выполним проверку:

Обратите внимание: несмотря на то, что мы получили одинаковые выражения, 2 не будет корнем исходного уравнения, так как не определен (корень чётной степени из отрицательных чисел не определён):

Ответ: .

3. Решение уравнений вида и

Пример

Решить уравнения:

1) ,

2) .

Решение

1) Возведём в квадрат обе части уравнения:

В левой части уравнения воспользуемся формулой:

Перенесём все слагаемые, кроме того, которое содержит корень, в одну часть уравнения:

Мы получили уравнение вида. С его решением мы уже знакомы.

Возводим в квадрат обе части уравнения:

Получили квадратное уравнение. Решим его:

Выполним проверку. Подставляем корни в исходное уравнение:

Ответ: .

2) Возведём в квадрат обе части уравнения:

Перенесём все слагаемые, кроме того, которое содержит корни, в одну часть уравнения:

Снова возведём обе части уравнения в квадрат:

Выполним проверку:

Ответ: .

4. Решение иррациональных уравнений методом замены переменных

Пример

Решить уравнения:

Решение

1) В уравнении переменная встречается только в выражении . Это подсказывает нам сделать замену . В этом случае мы избавимся от переменной и получим дробно-рациональное уравнение относительно переменной , которое мы уже умеем решать: