Сергей Александрович Лазарев

Группа 401 "Математика"

Тема занятия: "Логарифмические уравнения, приёмы их решения"

1. Логарифмические уравнения

Для решения логарифмических уравнений и неравенств нам понадобятся определение и свойства логарифмов.

Определение: .

Эквивалентная запись определения или основное логарифмическое тождество:

Свойства:

1) : ,

2) , для

3) , для

4) Формула перехода к новому основанию: .

Рассмотрим логарифмическую функцию: .

Рассмотрим графики логарифмической функции при основании, большем 1, и основании от 0 до 1:

Графики иллюстрируют такие свойства логарифмической функции:

1) .

2) При функция монотонно возрастает на всей области определения (обратите внимание на сходство с показательной функцией).

При функция монотонно убывает на всей области определения.

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение: (). Нарисуем на координатной плоскости график логарифмической функции. Решением этого уравнения будет пересечение этого графика с горизонтальной прямой .

Мы видим, что при любом данное уравнение имеет единственное решение (так как логарифмическая функция монотонна). Найти решение этого уравнения можно, используя определение логарифма: . Но можно использовать и метод, который мы применяли для решения простейших показательных уравнений, а именно: представить правую часть в виде логарифма с тем же основанием, что и в левой части: . И приравнять подлогарифмические выражения.

Рассмотрим пример: . Используя определение логарифма, получим: . Чтобы решить это же уравнение вторым способом, необходимо представить правую часть в виде логарифма с основанием 2. Как это сделать? Для этого используют универсальный метод, а именно: .

Тогда . То есть в общем виде: если мы хотим представить в виде логарифма с основанием , то мы расписываем , то есть заменяем 1 на (урок «Логарифмы»). А дальше вносим множитель перед логарифмом в показатель степени (урок «Логарифмы»): .

Показательная функция определена при всех значениях переменной. А логарифмическая только при положительных: Поэтому при решении логарифмических уравнений необходимо помнить, что имеет смысл только при .

Таким образом, при решении логарифмических уравнений необходимо либо учитывать ОДЗ (проверять, входят ли полученные корни в него), либо в конце решения сделать проверку. Чаще всего выполнить проверку проще.

Любое более сложное логарифмическое уравнение решается «выливанием воды из чайника», то есть сведением его различными методами к простейшим. Этих методов немного, все они основаны на использовании определения и свойств логарифма. И все эти методы мы рассмотрели на прошлом уроке, выполняя преобразования выражений, содержащих логарифмы.

Таким образом, можно выделить следующие инструменты для решения логарифмических уравнений:

1) Сведение логарифмического уравнения к простейшему.

2) Решение простейшего логарифмического уравнения.

3) Проверка корней (подставить или проверить ОДЗ).

При решении простейших логарифмических уравнений могут возникать линейные, квадратные, иррациональные, показательные уравнения – то есть все те уравнения, которые мы уже умеем решать.

Перейдём теперь к использованию перечисленных инструментов на практике.

Простейшие логарифмические уравнения и сводящиеся к ним

Пример 1

Решить уравнение: .

Мы решаем простейшее логарифмическое уравнение. Используем определение логарифма: , откуда: . Выполняем проверку:

- верно.

Обратите внимание, что при проверке мы подставляем полученные значения переменной в исходное уравнение.

Ответ: .

Пример 2

Решить уравнение: .

В левой и правой части стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, значит, можем приравнять подлогарифмические выражения:

Проверка: - верно.

Ответ: 4

Пример 3

Решить уравнение: .

Это не совсем обычное простейшее уравнение, так как в нём переменная находится в основании логарифма. Но это не должно вас пугать. Как и для обычного простейшего логарифмического уравнения, воспользуемся определением логарифма: . По определению корня, получаем: . Получили положительное число, не равное 1, – значит, оно может быть основанием логарифма.

Ответ: .

Пример 4

Решить уравнение: .

И снова не совсем обычное простейшее логарифмическое уравнение: переменная находится и в основании логарифма, и в подлогарифмическом выражении. Но суть решения от этого не меняется – используем определение логарифма: .

Выполняем проверку: – не подходит (основание логарифма не может быть отрицательным).

- верно.

Ответ: 2.

Пример 5

Решить уравнение: .

И снова используем определение логарифма:

Получили показательное уравнение, которое мы уже умеем решать. Необходимо обе части привести к одному основанию: .

Проверка: – верно.

Ответ: -1,5.

Рассмотрим решение уравнений с использованием свойств логарифмов

Пример 6

Решить уравнение: .

Необходимо свести это уравнение к простейшему. Это можно сделать двумя способами:

перенести логарифм из правой части в левую: .

Откуда, используя свойства логарифмов: . Далее необходимо использовать определение логарифма.

представить обе части в виде логарифмов с основанием 2.

Для этого воспользоваться рассмотренным ранее универсальным приёмом: – и свойством логарифмов: . Далее можно приравнять подлогарифмические выражения.

При решении любым из способов получится:

Проверка: – верно.

Ответ: .

Пример 7

Решить уравнение: .

В левой части стоит сумма двух логарифмов с одинаковыми основаниями, поэтому сразу преобразуем её в логарифм произведения: . Получили простейшее уравнение, которое решаем, используя определение логарифма:

Проверка:

– не подходит (под логарифмом не могут стоять отрицательные выражения).

– подходит.

Ответ: 4.

Пример 8

Решить уравнение: .

Это уравнение можно сводить к простейшему по-разному. Поскольку в левой части стоит отношение двух логарифмов с одинаковыми основаниями, напрашивается использование формулы перехода к новому основанию: . Получили иррациональное уравнение, которое мы уже умеем решать.

Но можно приводить к простейшему это же уравнение и по-другому, если воспользоваться правилом пропорции: . Чтобы получить слева десятичный логарифм (а затем приравнять подлогарифмические выражения), необходимо внести 2 в показатель степени:

Проверка:

– не подходит.

– подходит.

Ответ: 4.

Пример 9

Решить уравнение: .

Как и в заданиях на преобразование выражений с логарифмами, первым делом избавимся от показателей степени под логарифмами:

Проверка: – верно.

Ответ: .

Если переменная встречается в уравнении в одном и том же выражении с логарифмом, то с помощью замены можно свести логарифмическое уравнение к одному из тех, которые мы уже умеем решать (дробно-рациональному, иррациональному, показательному и т.д.).

Пример 1

Решить уравнение: .

Видим, что переменная в уравнении встречается только в выражении . Поэтому с помощью замены сводим уравнение к дробно-рациональному: .

Такие уравнения мы уже умеем решать: переносим 1 влево и приводим все дроби к общему знаменателю: .

ОДЗ:

Приравниваем числитель дроби к 0 (знаменатель не равен 0).

Обратная замена:

Проверка:

– подходит.

Ответ: 100, 1000.

Пример 2

Решить уравнение: .

Как и раньше, в первую очередь избавляемся от показателей степени под логарифмом: . Можем выносить чётную степень, так как (ОДЗ первого логарифма).

Теперь переменная встречается только в выражении . Выполняем замену: .

Обратная замена:

Проверка:

– подходит.

Ответ: ;

Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров нам необходимо следующее.

Знать

Определение и свойства логарифмов.

Уметь

Решать простейшие логарифмические уравнения.

Понимать

В конце решения логарифмических уравнений необходимо выполнить проверку или в начале решения проверить ОДЗ.

2. Системы логарифмических уравнений

Системы логарифмических уравнений решаются теми же методами, что и системы показательных уравнений (урок «Показательные уравнения, неравенства и их системы»).

Самые простые системы логарифмических уравнений – это системы, в которых оба уравнения сводятся к простейшим. В дальнейшем получается обычная система из двух уравнений с двумя неизвестными, которую мы уже умеем решать.

Пример такой системы: .

Ещё один тип систем логарифмических уравнений – это системы, которые сводятся к обычным с помощью замены. Пример такой системы: .

Пример 1

Решить систему уравнений: .

Как видим, оба уравнения являются простейшими, поэтому используем определение логарифма и получаем систему линейных уравнений:

Проверка: – подходит.

Ответ:.

Пример 2

Решить систему уравнений: .

Как видим, переменная в системе встречается только в выражении , а переменная только в выражении , поэтому с помощью замены: , данная система сводится к системе линейных уравнений:

Проверка:

– подходит.

Ответ:.

Подведём краткие итоги. Для решения рассмотренных примеров нам необходимо следующее.

Знать

Определение и свойства логарифмов.

Уметь

Решать логарифмические уравнения.

3. Логарифмические неравенства

Для решения логарифмических уравнений мы использовали важное свойство логарифмической функции – монотонность. Если функция – монотонна, то уравнение имеет не более 1 корня для любого . Это свойство показательной и логарифмической функции позволило нам сделать выводы о единственности решения уравнений: и .

Рассмотрим теперь простейшее логарифмическое неравенство: . Под логарифмом должно стоять положительное выражение, поэтому ОДЗ: . Возможны два случая:

1) Для график логарифмической функции выглядит следующим образом.

То есть – монотонно возрастающая функция: чем больше , тем больше . Используя определение логарифма, получаем: . Если правая часть неравенства также представлена в виде логарифма, то . Необходимо также учесть то, что , но так как , то решением неравенства будет множество или .

2) Для график логарифмической функции выглядит следующим образом.

– монотонно убывающая функция: чем больше , тем меньше . Используя определение логарифма, получаем: . Если правая часть неравенства также представлена в виде логарифма, то . Необходимо также учесть то, что : или .

Таким образом, в случае если основание логарифма больше 1, то при потенцировании знак неравенства не меняется, а если основание логарифма меньше 1, то меняется на противоположный.

Рассмотрим несколько примеров решения простейших логарифмических неравенств.

Пример 1

Решите неравенство .

ОДЗ: .

Основание логарифма в левой части , поэтому при потенцировании знак неравенства не меняется:
.

С учетом ОДЗ: .

Ответ: .

Пример 2

Решите неравенство .

ОДЗ: .

Так как основание логарифмов меньше 1, при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный: .

Учтем ОДЗ: .

Ответ: .

Ветка. Как определить знак логарифма?

При решении различных задач может возникнуть необходимость в определении знака логарифма. Как узнать, больше или меньше 0, к примеру, ?

Для того чтобы определить знак логарифма, его необходимо сравнить с 0: .

Вспомним, что 0 – это логарифм по любому основанию от 1, то есть необходимо сравнить: .

Если основание логарифма больше 1, то логарифм – возрастающая функция, то есть . Соответственно, .

Если бы мы определяли знак выражения , то цепочка рассуждений была бы следующей.

Так как основание логарифма меньше 1, то логарифм – убывающая функция, то есть: . Соответственно, .

Общая схема решения любого логарифмического неравенства.

1) Проверить ОДЗ.

2) Свести неравенство к простейшему логарифмическому неравенству (теми же методами, что и логарифмические уравнения).

3) Решить простейшее логарифмическое неравенство.

4) Найти пересечение полученного решения с ОДЗ.

Ветка. Почему проверять ОДЗ лучше в начале?

Лучше всего начинать решение логарифмических неравенств с проверки ОДЗ. Поскольку даже на первом шаге решения можно получить выражение с измененной ОДЗ.

Например: .

ОДЗ исходного неравенства:

Если же мы преобразуем сумму логарифмов с одинаковыми основаниями в логарифм произведения: , то ОДЗ полученного неравенства: .

Таким образом, набор инструментов для решения логарифмических неравенств такой же, как и для логарифмических уравнений.

Научимся применять их на практике.

Пример 3

Решите неравенство .

Сначала выпишем ОДЗ исходного неравенства.

ОДЗ: .

Слева и справа стоят логарифмы с одинаковым основанием. Избавляемся от логарифмов с помощью потенцирования, при этом меняем знак на противоположный .

Находим пересечение полученного множества с ОДЗ.

Ответ: .

Пример 4

Решите неравенство .

Проверяем ОДЗ: . Потенцируем обе части неравенства (основание 2 больше 1, поэтому знак неравенства не меняется).

Находим пересечение с ОДЗ.

Ответ: .

Пример 5

Решите неравенство .

Может показаться, что этот пример сложнее предыдущих, так как в левой части стоит логарифм от логарифма. Давайте заменим внутренний логарифм на некоторую переменную: . Тогда получаем: . То есть простейшее логарифмическое неравенство, которое мы уже умеем решать.