Сергей Александрович Лазарев

Группа 401 "Математика"

Тема занятия: "Угол между прямой и плоскостью"

Определение

Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно опустить из любых двух ее точек перпендикуляры на плоскость (спроектировать эти точки), после чего провести через них прямую – это и будет проекция (см. Рис. 4).

Рис. 4. Угол между прямой и плоскостью

Так, проекции всех точек данной прямой будут лежать на одной прямой.

Доказательство

Пусть – точка пересечения прямой и плоскости , и – точки на прямой , и – их проекции на плоскость . Докажем, что , и лежат на одной прямой . (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Иллюстрация к доказательству

Заметим, что , так как , . Значит если рассмотреть плоскость , то точки и будут принадлежать ей. Но плоскость пересекает исходную плоскость по некоторой прямой. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. Пересечение плоскостей

Значит раз точки , и принадлежат обеим плоскостям, то они лежат на этой прямой, что и требовалось доказать.

То есть мы свели новое определение к углу между прямыми, который мы уже знаем.

Обратите внимание на частую ошибку, которую допускают ученики. Углом между прямой и плоскостью называется угол именно между прямой и ее проекцией, а не между прямой и любой прямой в плоскости. Потому как такие углы могут быть разными.

Пример (куб)

Рассмотрим куб .

Решение

А) Найдите угол между прямой и плоскостью . (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Иллюстрация к примеру А

Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки – точка , т. к. боковое ребро куба перпендикулярно плоскости основания. (См. Рис. 8.)

Рис. 8. , следовательно, точка – проекция точки на плоскость

Значит, искомый угол – это угол (см. Рис. 9), а он равен , так как это угол между диагональю и стороной квадрата.

Рис. 9. Искомый угол

Обратите внимание, что если взять вместо другую прямую из плоскости основания, например , то угол будет другим – в данном случае , так как треугольник равносторонний (все стороны – диагонали граней). (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Угол в равностороннем треугольнике

Так что угол между прямой и плоскостью – это совсем не угол между прямой и любой прямой в плоскости.

Б) Чему равен угол между и ? (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Иллюстрация к примеру Б

Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Рис. 12. , следовательно, точка – проекция точки на плоскость

Значит, искомый угол – (см. Рис. 13).

Рис. 13. Искомый угол

Его можно найти из треугольника (см. Рис. 14).

Рис. 14. Треугольник

Треугольник прямоугольный, т. к. , , значит, (см. Рис. 15).

Рис. 15. Выносной рисунок треугольника

Если взять сторону куба за , тогда , и .

Ответ: , .

Свойство угла между прямой и плоскостью

Вспомните, что расстояние от точки до плоскости – это кратчайший из отрезков, соединяющий исходную точку с точкой плоскости. Подобное верно и для угла: угол между прямой и плоскостью – наименьший из углов между прямой и произвольной прямой в плоскости.

Доказательство

Пусть прямая пересекает плоскость в точке , – проекция на плоскость, а – произвольная прямая в плоскости, проходящая через . Пусть также – перпендикуляр на прямую . (См. Рис. 16.)

Рис. 16. Иллюстрация к доказательству

Тогда несложно видеть, что а . Так как – кратчайшее расстояние от точки до плоскости, то , а значит, .

Пример (пирамида)

Найдите угол между боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и ее основанием, если все ее ребра равны . (См. Рис. 17.)

Рис. 17. Иллюстрация к примеру

Решение

Пусть – центр основания пирамиды . Как мы знаем, искомый угол – это угол между самой прямой и ее проекцией.

Чтобы построить проекцию прямой на плоскость, достаточно взять две точки. Одной из них будет точка пересечения прямой и плоскости – точка . Второй – проекция точки – точка , т. к. вершина правильной пирамиды проектируется в центр основания. Тогда искомый угол – . (См. Рис. 18.)

Рис. 18. Искомый угол

( – половина диагонали квадрата ), . Значит, , то есть искомый угол .

Ответ: .

Пример

В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны . Найти угол между прямой и плоскостью . (См. Рис. 19.)

Рис. 19. Иллюстрация к условию задачи

Решение

Сперва заметим, что, если параллельно перенести прямую , искомый угол не поменяется. Рассмотрим и – середины и соответственно. Тогда можно вместо искать угол между и плоскостью. (См. Рис. 20.)

Рис. 20. Искомый угол – угол между и плоскостью

Далее, заметим, что – проекция точки – попадет на . Действительно, по теореме о трех перпендикулярах, раз и , то есть проекция . А тогда искомый угол – (См. Рис. 21.)