Группа 306 "Математика"

Тема занятия: "Уравнение cos x=a"

1. Решение тригонометрического уравнения  на первом этапе целесообразно выполнять с использованием тригонометрической окружности. Из рисунка видно, что при , таких точек нет, при , такая точка одна, при , таких точек две.

Рисунок 1 – Точки пересечения прямой x = m с тригонометрической окружностью

Рассмотрим решение уравнения .

Прямая  пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:

M(π/6) и N(-π/6).

Рисунок 2 – Решение уравнения 

Точка M(π/6) соответствует всем числа вида .

Точка N(-π/6) соответствует всем числа вида .

Таким образом, решение уравнения  можно записать так:

.

Ответ: .

Чтобы уметь решать уравнение  для произвольных значений m, вводится понятие арккосинуса.

Арккосинусом числа m  называется такое число α, что:  и .

Арккосинус числа m обозначают: 

Для  

Если  и, то .

Два простейших тождества для арккосинуса.

1.  для любого m: 
2.  для любого α: 

Из рисунка видно, что .

Рисунок 3 – Связь между  и 

Решением уравнения  являются все числа вида

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Решите уравнение .

В ответ запишите наименьший положительный корень.

Решение:

При  получаем  .

При увеличении значений k значение первого корня будет отрицательным, а значение второго корня будет увеличиваться.

При уменьшении значений k значение первого корня будет увеличиваться, а значение второго корня будет отрицательным. Поэтому наименьшее положительное значение корня 1.

Ответ: 1

№2.Решите уравнение . Определите, сколько решений имеет это уравнение при:

1. k=-3

Ответ: 0

1. k=0

Ответ: 4

1. k=2

Ответ: 4

Решение:

Запишем решение данного уравнения в виде:

Тогда: 

Первое уравнение имеет решение, если . То есть , или .

Второе уравнение имеет решение, если . То есть , или .

Поэтому при  уравнение будет иметь 4 решения, а при  ни одного.

                                   Выполнить упражнения по учебнику:  "Алгебра 10-11 класс" 

                                                     №568, 569 стр 171