Группа 306 "Математика"
Тема занятия: "Уравнение sin x=a
- Так как
является абсциссой точки М(α) координатной окружности, то для решения уравнения 
нужно сначала найти на этой окружности точки, имеющие абсциссу m, то есть точки пересечения окружности с прямой x=m. Если 
, то таких точек нет, если 
, то такая точка одна, если 
, то таких точек две.
После отыскания этих точек нужно найти все такие числа α, которые соответствуют этим точкам. Множество таких чисел и будет решением уравнения 
.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Рассмотрим пример на вычисление арксинуса.
Пример.
Вычислить 
Решение:
Так как 
и 
то 
Ответ: 
.
Задание.
Вычислить 
.
Ответ: 
.
На рисунке показано, как связаны друг с другом числа m и 
Из рисунка видно, что 
Запишем теперь с помощью арксинуса решение уравнения 
Одним из решений уравнения является число 
. Так как 
, то число 
также является решением данного уравнения.
Точка 
соответствует всем числам вида 
Точка 
соответствует всем числам вида 
Таким образом, решением уравнения sinα=m являются все числа вида
(*)
Пример.
Решим уравнение 
Решение:
Так как 
, то по формуле (*) получаем:
.
Задание
Решите уравнение 
Ответ: 
.
Рассмотрим решение более сложных уравнений с синусом.
- Рассмотрим решение уравнения
.
Решение:
, поэтому 
Отсюда 
, или 
Тогда 
Ответ: 
.
- Рассмотрим решение уравнения
Решение:
, поэтому 
.
Отсюда получаем:
Мы получили два квадратных уравнения с параметром k.
Запишем их решения.
Для того чтобы число х было действительным, дискриминант должен быть неотрицательным. То есть:
(1) и 
(2)
Неравенство (1) выполняется при 
, так как k – целое, то 
.
Неравенство (2) выполняется при 
, так как k – целое, то 
.
Таким образом, получаем, что при целых значениях 
исходное уравнение имеет две серии решений: 
При 
уравнение имеет два решения: 
Ответ: а) 
при 
,
б) 
при 
,
в) нет решений при 
.
- Рассмотрим решение уравнения
Решение:
Так как синусы равны, то их аргументы связаны соотношением:
Отсюда:
Первое уравнение имеет решение при 
или при 
.
Второе уравнение имеет решение при 
или при 
.
Таким образом:
Ответ:
а) 
при 
,
б) 
, 
при 
при 
,
в) нет решений при 
.
- Рассмотрим решение уравнения
Решение:
Уравнение равносильно совокупности уравнений:
или: 
Решение первого уравнения: 
.
Решение второго уравнения: 
.
Ответ: 
- Рассмотрим решение уравнения
Решение:
Выразим синус:
Имеем две серии решений:
.
Изобразим эти множества на тригонометрической окружности:
Можно записать эти две серии в виде одного равенства:
.
Ответ: 
.
Заметим, что для краткости решение тригонометрического уравнения sin x=m можно записать в виде: 
Пример 1.
Рассмотрим решение уравнения 
.
Прямая 
пересекает тригонометрическую окружность в двух точках:
M(π/3) и N(2π/3).
Точка M(π/3) соответствует всем числа вида 
.
Точка N(2π/3) соответствует всем числа вида 
.
Таким образом, решение уравнения 
можно записать так:
.
Ответ: 
.
Пример 2.
Рассмотрим решение уравнения 
.
Прямая y=1 имеет с тригонометрической окружностью одну общую точку: 
.
Этой точке соответствуют все числа вида 
. Поэтому решение уравнения 
имеет вид 
.
Ответ: 
.
Пример 3.
Рассмотрим решение уравнения 
.
Прямая y=0 имеет с тригонометрической окружностью две общие точки: С(
) и К(π).
Поэтому решение уравнения 
можно записать так: 
.
Ответ: 
.
Задание.
Решите уравнение 
.
Ответ: 
.
2. Мы можем записать решение уравнение 
для любых табличных значений m. В тех случаях, когда мы не знаем значения аргумента, соответствующее значению m, чтобы уметь решать уравнение 
для произвольных значений m, введем понятие арксинуса.
Выполнить упражнения по учебнику: "Алгебра 10-11 класс"
№586, 587 стр 177
Комментариев нет:
Отправить комментарий