Сергей Александрович Лазарев

Группа 306 "Математика"

Тема занятия: "Пространственная теорема Пифагора"

Пространственная теорема Пифагора

Мы уже много говорили об аналогах объектов или фактов из планиметрии в стереометрии. Плоская теорема Пифагора имеет аналоги и в стереометрии.

Первый аналог достаточно прост. Если теорему Пифагора переформулировать в том смысле, что квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних сторон (т. е. двух измерений), то аналогичное утверждение мы имеем для диагонали прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 61): квадрат диагонали грани равен сумме квадратов двух измерений:

Рис. 61. Прямоугольный параллелепипед

Квадрат диагонали самого параллелепипеда равен сумме квадратов диагонали грани и квадрату третьего измерения, т. е. в итоге сумме квадратов всех трех измерений:

Получаем утверждение, очень похожее на плоскую теорему Пифагора:

По сути мы далеко не ушли от плоской теоремы и применили ее два раза.

Рассмотрим другую ситуацию. Аналогом прямоугольного треугольника является такой тетраэдр, у которого три ребра , исходящие из вершины , взаимно перпендикулярны (см. рис. 62).

Рис. 62. Тетраэдр

Чтобы лучше себе его представить, мысленно отрежьте от прямоугольного параллелепипеда один кусочек около угла (см. рис. 63). Отрезанная часть и будет нужным тетраэдром. Точно так же можно получить прямоугольный треугольник, отрезав кусочек от прямоугольника.

Рис. 63. Прямоугольный параллелепипед

Поставим тетраэдр на плоскость среза (см. рис. 64). Сверху у нас трехгранный угол , все три плоских угла которого прямые.

Рис. 64. Тетраэдр поставлен на плоскость среза

Обозначим левую грань и ее площадь через , грань – через , грань – через . Нижнюю грань и ее площадь обозначим как . Чтобы совсем закончить аналогию с прямоугольным треугольником, можно сказать, что грани , и аналогичны катетам, а нижняя грань похожа на гипотенузу. Так их и назовем – катетные грани и гипотенузная грань .

Пространственная теорема Пифагора утверждает, что сумма квадратов площадей катетных граней равна квадрату площади гипотенузной грани:

Правда, очень похоже на плоскую теорему Пифагора? Принцип доказательства разберем сначала на плоской теореме, а потом почти без изменений применим его к пространственной. Итак, докажем плоскую (обычную) теорему Пифагора.

Доказательство (теорема Пифагора)

Поставим прямоугольный треугольник на гипотенузу (см. рис. 65).

Рис. 65. Иллюстрация к доказательству

Докажем, что квадрат гипотенузы равен квадрату катетов. Опустим высоту из вершины прямого угла (см. рис. 66). Важно, что высота падает внутрь гипотенузы, а не на ее продолжение. Это следует из того, что углы и острые (см. рис. 67).

Рис. 66. Иллюстрация к доказательству

Рис. 67. Иллюстрация к доказательству

Высота разбивает гипотенузу на два отрезка, и (см. рис. 68).

Рис. 68. Иллюстрация к доказательству

Катет – это проекция гипотенузы на прямую . В этом легко убедиться, если поставить треугольник на катет . Аналогично катет – это тоже проекция гипотенузы.

Длина проекции наклонной равна длине наклонной на косинус угла между ними:

Конечно, эти равенства не что иное, как определение косинуса угла. Но нам важно акцентировать внимание на проекциях, потому что потом мы будем делать то же самое в пространственной теореме. Отрезки и сами являются проекциями и , тогда:

Смотрите, что мы сделали: мы гипотенузу спроектировали с помощью угла , получили катет . А потом еще раз спроектировали с помощью того же угла обратно на прямую , получили отрезок . Поэтому и получается, что если гипотенузу умножить два раза на косинус , то получим отрезок . Аналогично с углом и отрезком .

Но отрезки и в сумме дают гипотенузу :

Откуда мы делаем вывод, что выражение в скобках:

Кто видит, что , понимает, что мы получили основное тригонометрическое тождество. Зачем нам было так долго к нему идти, раз оно у нас уже есть? Все просто: мы его получили в свое время, используя теорему Пифагора, поэтому его никак нельзя было задействовать для доказательства этой самой теоремы Пифагора. А здесь мы использовали только определение косинусов.

Вернемся к катетам:

Возведем их в квадрат и сложим:

Выражение в скобках равно , как мы уже выяснили, следовательно:

Доказано.

У теоремы Пифагора огромное количество способов доказательства, и это не самое быстрое, но его прелесть в том, что оно подходит и для пространственной теоремы.

Доказательство (пространственная теорема Пифагора)

Угол между первой катетной гранью и гипотенузной гранью обозначим , между второй и гипотенузной – и между третьей и гипотенузной (см. рис. 69).

Рис. 69. Иллюстрация к доказательству

Теперь нам нужно опустить высоту из точки на нижнюю гипотенузную грань. Хочется понять, попадет ли она внутрь треугольника . Это зависит от двугранных углов , и . Если они все меньше , то точка находится над треугольником и ее проекция попадает внутрь треугольника. Оценим и угол между первой и нижней гранью. Чтобы это сделать, нам нужен плоский угол. Нужны два перпендикуляра к ребру .

Проведем в нижней плоскости перпендикуляр , т. е. высоту треугольника .

В первой грани проведем отрезок . Он тоже будет перпендикуляром к (см. рис. 70).

Чтобы это увидеть, опрокинем тетраэдр на первую грань (см. рис. 71).

Рис. 70. Иллюстрация к доказательству

Рис. 71. Иллюстрация к доказательству

– перпендикуляр к плоскости 1. – наклонная и она перпендикулярна к прямой , тогда проекция наклонной тоже будет ей перпендикулярна к по теореме о трех перпендикулярах (см. рис. 72).

Рис. 72. Иллюстрация к доказательству

Тогда угол и есть угол между плоскостями. Но он острый, так как – прямоугольный треугольник.

Вернем тетраэдр в исходное положение. Уберем точку – она сыграла свою службу (см. рис. 73).

Рис. 73. Иллюстрация к доказательству

Итак, угол острый. Аналогично острыми будут и остальные два угла, и .

Тогда точка проектируется в точку внутри треугольника (см. рис. 74).

Рис. 74. Иллюстрация к доказательству

Площадь ортогональной проекции фигуры равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями фигуры и проекции. Здесь полная аналогия длины проекции и длины наклонной.

Проекцией первой катетной грани на нижнюю (гипотенузную) будет треугольник , его площадь тоже обозначим . Проекцией второй катетной грани на будет треугольник , проекцией третьей катетной грани на будет треугольник (см. рис. 75). Тогда их площади связаны соотношениями:

Рис. 75. Иллюстрация к доказательству

Но катетные грани сами являются проекциями гипотенузной грани. Чтобы это увидеть, достаточно опрокинуть тетраэдр на каждую катетную грань (см. рис. 76).

Рис. 76. Иллюстрация к доказательству

Подставим последние равенства в предыдущие:

То есть мы провели точно такую же процедуру, что и в плоском случае. Нижнюю гипотенузную грань ортогонально спроектировали с помощью угла , получили грань , потом еще раз и получили треугольник . Аналогично с другими гранями.

Но – это вся нижняя грань :