Группа 403 "Математика"

Тема занятия: "Сумма нескольких векторов"

1. Сумма двух векторов, правило треугольника

На предыдущем уроке мы определили понятие вектора, сказали, какие векторы называются равными, коллинеарными, сонаправленными и противонаправленными.

Теперь пусть задано два вектора – вектора  и . Найдем сумму этих двух векторов . Для этого отложим из некоторой точки А вектор . Из точки В отложим вектор . Тогда вектор  называют суммой заданных векторов:  (см. Рис. 1).

Рис. 1

Данное определение можно объяснить так: пусть был задан груз, и сначала на него подействовала сила  – он переместился из точки А в точку В, после этого подействовала сила  – груз переместился из точки В в точку С. Но в результате действия двух этих сил груз переместился из точки А в точку С.

Таким образом, мы получили определение суммы двух векторов – правило треугольника.

Правило треугольника

Для того чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из конца полученного вектора отложить второй вектор, и построить вектор, соединяющий начало первого с концом второго – это и будет сумма двух векторов.

Можно провести аналогию с числами. Мы ввели понятие числа, научились складывать числа, определили законы сложения и так далее. Теперь мы ввели понятие вектора, научились находить равные вектора, складывать вектора. Теперь нужно определить законы сложения.

2. Законы сложения векторов, правило параллелограмма

Законы сложения векторов

Для любых векторов ,  и  справедливы следующие равенства:

 – переместительный закон.

Доказательство: отложим из точки сначала вектор , получаем точку В, из нее откладываем вектор , получаем точку С и вектор .

Теперь отложим из точки А сначала вектор  получим точку В, из нее отложим вектор, получим точку С и вектор .

Чтобы доказать равенство полученных векторов, выполним оба построения из одной точки и получим таким образом правило параллелограмма (см. Рис. 2).

Рис. 2

Откладываем из точки А вектор  и вектор . Из точки В откладываем вектор , вектора  и  равны, а значит, стороны ВС и АВ1 четырехугольника АВСВ1 параллельны. Аналогично параллельны и стороны АВ и В1С, таким образом, мы получили параллелограмм. АС – диагональ параллелограмма. , таким образом, мы доказали переместительный

Рис. 3

закон сложения векторов и получили правило параллелограмма (см. Рис. 3).

Правило параллелограмма

Чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить эти два вектора и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, и будет суммой заданных векторов.

 – сочетательный закон;

Из произвольной точки А отложим вектор , прибавим к нему вектор , получим их сумму . К этой сумме прибавим вектор , получим результат  (см. Рис. 4).

Рис. 4

В правой части выражения мы сначала получили сумму векторов , после прибавили ее к вектору  и получили результат:  (см. Рис. 5).

Таким образом, мы доказали сочетательный закон сложения векторов.

Рис. 5

3. Правило сложения нескольких векторов

Правило многоугольника

Чтобы сложить несколько векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее; когда все векторы отложены, соединив начальную точку с концом последнего вектора, получим сумму нескольких векторов (см. Рис. 6).

Рис. 6

По аналогии с действительными числами после того, как мы научились их складывать, нужна обратная операция – вычитание.

                                    Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №355, 336 стр90