Сергей Александрович Лазарев

Группа 403 "Математика"

Тема занятия: "Понятие вектора"

С понятием вектора на плоскости мы уже сталкивались. Мы говорили, что есть такие величины, для которых важно не только численное значение, но и направление, например, сила, скорость и т. д. Такие величины мы называли векторными или просто векторами. В математике вектор изображается в виде направленного отрезка. То есть, если задан отрезок и сказано, что точка – его начало, а – конец, то говорят, что задан вектор или вектор :

Рис. 1. Вектор

Определение

Вектором называется направленный отрезок, он имеет направление и величину.

Длина вектора соответствует длине отрезка, задающего этот вектор.

Теперь нужно ввести некоторые понятия, а именно: какие вектора называются равными, ввести операции сложения, вычитания, умножения на число и т. д.

Теперь введем второй вектор , обозначим его как вектор :

Рис. 2. Коллинеарные векторы и

Если прямые и параллельны (или совпадают), то векторы и коллинеарны.

Коллинеарные векторы могут быть противонаправлены: (рис. 2) или сонаправлены ().

Определение

Равными называются коллинеарные сонаправленные векторы, длины (модули) которых равны.

Имеем вектор и вектор :

Рис. 3. Равные векторы

Заданные векторы равны, т. к. они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны:

Существует также нулевой вектор (), т. е. вектор нулевой длины, он изображается точкой.

Проводя аналогию с числами: мы знали число и противоположное ему число , это были такие числа, сумма которых равна нулю:

Аналогичное понятие существует и для векторов (рис. 4).

Рис. 4. Противоположные векторы

Задана точка и два вектора: и . Эти векторы имеют одинаковую длину (), принадлежат одной прямой – коллинеарны – и противонаправлены. Такие векторы в сумме составляют нулевой вектор:

Кроме того:

С физической точки зрения это можно представить следующим образом: если с равной силой тянуть предмет одновременно в две противоположные стороны, то он никуда не сдвинется.

Перейдем к векторам в пространстве. Рассмотрим задачу.

Задача 1

Измерения прямоугольного параллелепипеда известны:. найдите длины векторов: , , , , ,

Рассмотрим чертеж (рис. 5).

Рис. 5. Прямоугольный параллелепипед

Напомним основные важные факты о прямоугольном параллелепипеде:

1. Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания – параллелепипед прямой ();

2. Боковые грани прямого параллелепипеда прямоугольники, в основании может лежать параллелограмм;

3. Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным ( – прямоугольник);

4. Прямоугольный параллелепипед полностью задается тремя измерениями: ширина (), длина (), высота ().

Итак, найдем длину вектора . Он равен векторам и равен высоте параллелепипеда, которая задана по условию: 12 см. . Чтобы решить данную задачу, нужно понимать, какие векторы называются равными.

Вектор : отрезок имеет такую же длину, как отрезок : .

Вектор : отрезок – это диагональ боковой грани параллелепипеда. Ее длина соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами и . Можем найти длину гипотенузы по теореме Пифагора: ; .

Вектор : отрезок – это диагональ основания параллелепипеда. Ее длина соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами и . Можем найти длину гипотенузы по теореме Пифагора: ;