Группа 403 "Математика"

Тема занятия: "Равенство вектора"

Векторы называются равными, если они сонаправлены и длины их равны.

Длина вектора называется модулем и обозначается так: .

Итак, из определения равенства векторов мы получаем:

.

Пример 1 – задача 738: отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте все ненулевые векторы, начало и конец которых совпадают с двумя из этих точек, выпишите эти векторы, укажите их начало и конец.

Соединим точки А и В, получаем вектор , А – начало, В – конец, аналогично получаем вектора  и .

Поменяем для вектора  начало и конец между собой, получим вектор , В – начало, В – конец, аналогично получаем вектора  и  (см. Рис. 5).

Рис. 5

Данная задача показывает нам, что любые две точки могут быть соединены отрезком, и если в нем выбрать начало и конец, мы получим вектор.

Пример 2 – задача 749: точки S и T являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции. Равны ли векторы  и ? Векторы  и ? Векторы  и ? Векторы  и ?

Напомним, что вектор – это направленный отрезок, а все ранее изученные нами фигуры – треугольники, четырехугольники, в частности, трапеции, состоят из отрезков, каждый из которых можно представить, как вектор.

Согласно условию, трапеция равнобедренная, отсюда .

Стороны NL и MK параллельны как основания трапеции (см. Рис. 6). Если векторы направлены по этим прямым, то они называются коллинеарными, они могут быть сонаправленными либо противонаправленными. 

Рис. 6

Очевидно, что векторы  и  не равны, так как они даже не коллинеарны – не принадлежат параллельным прямым (см. Рис. 7).

Векторы  и  коллинеарны, т.к. принадлежат одной прямой – боковой стороне трапеции; данные векторы сонаправлены. Кроме того, в условии сказано, что S – середина MN, отсюда модули векторов равны. Таким образом, данные векторы равны между собой.

Рис. 7

Векторы  и  не равны, хотя их длины одинаковы – трапеция по условию равнобедренная (см. Рис. 8). Но данные два вектора не являются сонаправленными по определению трапеции (трапецией называется такой четырехугольник, у которого две стороны – основания – лежат на параллельных прямых, а две остальных стороны не параллельны).

Рис. 8

Векторы  и  равны, так как Т – середина KL, отсюда , таким образом, модули векторов равны. Также очевидно, что данные векторы коллинеарны – они принадлежат одной прямой, боковой стороне трапеции KL, и сонаправлены.  Таким образом, заданные два вектора равны (см. Рис. 9).

Рис.  9

Решение задач

Пример 3 – задача 751: определить вид четырехугольника ABCD, если , .

Данный четырехугольник – ромб. Обоснуем. Мы знаем, что векторы  и  равны, отсюда следует, что равны их модули – то есть длины отрезков, векторы сонаправленны и коллинеарны, то есть принадлежат параллельным прямым, таким образом, заданный четырехугольник – параллелограмм (см. Рис. 10). Данный факт обоснован признаком параллелограмма: если две стороны четырехугольника принадлежат параллельным прямым и длины их равны, то данный четырехугольник –

Рис. 10

параллелограмм. Согласно второму условию, , соседние стороны параллелограмма равны друг другу, а такой параллелограмм является ромбом.

                                       Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №324, 325, 326 стр 86