Группа 306 "Математика"

Тема занятия: "Логарифмические неравенства"

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

Неравенство необходимо решать, применяя эквивалентные, равносильные преобразования. Рассмотрим схему. Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, большим единицы, помним, что функция монотонно возрастает. Отсюда:

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

Например:

Рис. 2. Иллюстрация решения примера

Ответ: 

3.  Методика решения простейших логарифмических неравенств с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, пример

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма .

Поскольку мы рассматриваем логарифмическую функцию с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, помним, что функция монотонно убывает. Отсюда:

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

Например:

Рис. 3. Иллюстрация решения примера

Ответ: нет решений

 

4.  Обобщение методики

Выполним обобщение. Мы рассматриваем простейшие логарифмические неравенства, т. е. неравенства вида:

Все остальные более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим.

Методика решения:

1. Уравнять основания логарифмов;

2. Сравнить подлогарифмические выражения:

- при  сохранить знак неравенства;

- при  изменить знак неравенства на противоположный;

3. Учесть ОДЗ;

 

5.  Решение примеров

Пример 1 – решить неравенство:

Уравняем основания логарифмов. Для этого число в правой части представим в виде логарифма с нужным основанием:

Итак, имеем неравенство:

Основание логарифма меньше единицы, имеем эквивалентную систему:

Рис. 4. Иллюстрация решения примера 1

Ответ: 

Пример 2 – решить неравенство:

Уравняем основания:

Имеем неравенство:

Основание логарифма меньше единицы, имеем эквивалентную систему:

Имеем систему двух простейших логарифмических неравенств. Уравняем основания в каждом из них:

В обоих случаях основание логарифма больше единицы, запишем эквивалентные системы:

Рис. 5. Иллюстрация к решению примера 2

Ответ: 

                      Выполнить упражнения по учебнику:  "Алгебра 10-11 класс" 

                                          №355, 356, 357 стр 111-112