Группа 403 "Математика"

Тема занятия: "Зеркальная симметрия"

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости ) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка  переходит в симметричную ей относительно плоскости  точку . Что значит симметричную ей? Это значит, что отрезок  перпендикулярен плоскости  и делится ею пополам (Рис. 2).

Рис. 2.  симметрична  относительно 

Так что в зеркале мы видим образ, в точностью копирующий нас. Но кто сказал, что образ в точности копирует? Для этого надо доказать, что зеркальное отражение сохраняет расстояния, то есть является движением.

Докажем, что зеркальная симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат  так, чтобы плоскость  совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами точек  и ,  и  симметричных относительно плоскости  (Рис. 3).

Рис. 3. Координаты введенных точек

Найдем длину отрезков  и  по формуле расстояния между точками:

Отсюда , значит, зеркальная симметрия является движением.

Задача. Зеркальная симметрия

Пусть дана точка . Какие координаты будет иметь ее образ при зеркальной симметрии относительно плоскости а) , б) , в)  (Рис. 8)?

Рис. 8. Иллюстрация к условию задачи

Решение

А) Когда мы отражаем относительно , то меняется знак :  (Рис. 9).

Рис. 9. Пояснение касательно отражения относительно 

Аналогично остальные ответы: б)  и в) .

Ответ: а) ; б) ; в) .

                                    Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №478, 479, 480, 481, 482 стр 125