Группа 403 "Математика"

Тема занятия: "Осевая симметрия"

Рассмотрим прямую  и произвольную точку . Опустим из  перпендикуляр на . Продлим этот перпендикуляр на его длину и получим точку . Значит, , тогда  – серединный перпендикуляр отрезка . Аналогично сделаем для точки  (Рис.11).

Рис. 11. Иллюстрация к объяснению

При этом точки  не обязаны лежать в одной плоскости (Рис. 12).

Рис. 12. Точки  и  лежат в разных плоскостях

Нужно доказать, что  (чтобы осевая симметрия являлась движением).

Для этого введем прямоугольную систему координат  так, чтобы ось  совпала с осью симметрии. Координаты точек: ; . Найдем координаты образов точек. Координаты по оси  не изменятся, а остальные координаты поменяют свой знак на противоположный, то есть ;  (Рис. 13).

Рис. 13. Визуальное пояснение нахождения координат образов точек

Найдем длины отрезков  и : ;

.

Из полученных формул видно, что , значит, при осевой симметрии расстояния между точками ,  и их отображениями ,  равны. Значит, осевая симметрия является движением, что и требовалось доказать.

Есть и более общее понятие – поворот вокруг прямой, когда мы каждую точку поворачиваем вокруг данной прямой на некоторый фиксированный угол (Рис. 14).

Рис. 14. Поворот вокруг прямой

Тогда осевая симметрия – это поворот на .

 Задачи на осевую симметрию

Задача . Есть ли ось симметрии у прямоугольного параллелепипеда? (Рис. 15)

Рис. 15. Параллелепипед

Решение

Рассмотрим прямую, проходящую через центр любой грани параллелепипеда, перпендикулярно ей (Рис. 16).

Рис. 16. Перпендикулярная прямая, проходящая через центр грани

Тогда очевидно, что каждое перпендикулярное сечение будет симметрично относительно этой оси (повернув прямоугольник на , получим такой же прямоугольник), а значит, и вся фигура также будет симметрична.

Ответ: да, есть.

Задача . Рассмотрим правую перчатку. Проведем через средний палец ось параллельно пальцу и сделаем осевую симметрию перчатки относительно этой оси. В какую перчатку: правую или левую перейдет исходная перчатка?

Ответ: В правую перчатку, ведь это просто поворот относительно прямой на .

                                    Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс"