Группа 403"Математика"

Тема занятия: "Центральная симметрия" 

Примером движения может служить центральная симметрия (симметрия относительно точки). Возьмем точку  и произвольную точку  нашего пространства. Отразим точку  относительно точки  симметрично. Для этого проведем прямую через данные две точки и отложим за точку  точку  так, чтобы  (Рис. 4).

Рис. 4. Центральная симметрия

Если говорить векторным языком, то  (Рис. 5).

Рис. 5. Центральная симметрия на векторном языке

Если каждую точку пространства отразить таким образом, то это и называется центральной симметрией относительно точки .

Докажем, что центральная симметрия является движением.

Доказательство геометрическим методом: пусть даны точки  и , точка  – центр,  – образы исходных точек, . Доказать, что  (Рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к условию доказательства

Рассмотрим  и . По первому признаку равенства треугольника : . Значит,  (Рис. 7).

Рис. 7. Равные треугольники

Доказательство методом координат: пусть  – центр симметрии,  и  – произвольные точки в декартовой системе координат. Доказать, что . Найдем координаты точек  и  (образов точек  и ) (Рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к условию доказательства

Раз  симметрична  относительно начала координат, то все координаты точки  меняют знак на противоположный, то есть . Аналогично с точками  и . Получаем, что .

Тогда ;

.

В свою очередь:

Отсюда следует, что . Значит, центральная симметрия сохраняет расстояние, а значит, является движением.

У движений есть ряд свойств, например, наиболее важное для нас то, что любую фигуру в пространстве движение переводит в равную ей фигуру (Рис. 9). Но мы не будем доказывать этот весьма непростой факт, а просто будем его использовать.

Рис. 9. Свойство движения

 Задачи на центральную симметрию

Задача . В какую точку перейдет точка  при центральной симметрии относительно точки ? Найти координаты получившейся точки .

Решение

Вариант . Если точка  переходит в некоторую точку , то  – середина . Значит, координаты точки  есть полусумма координат  и :

То есть точка  имеет координаты .

Вариант . 

Получаем: . То есть .

Ответ: .

Задача . Докажите, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр симметрии, перейдет в прямую, параллельную исходной.

Решение

Пусть . Нужно доказать, что  (Рис. 10).

 

Рис. 10. Иллюстрация к условию

Точка  перешла в точку , а точка  – в точку . Образовалась прямая , т.к. образом прямой при движении является прямая.

Распишем вектор :  (коллинеарные векторы). Значит, .

                                       Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс"