Группа 403 "Математика"

Тема занятия: "Умножение вектора на число"

Произведение ненулевого вектора  на число k – такой вектор , длина которого равна , причем векторы  и  сонаправлены при  и противонаправлены при . Произведение нулевого вектора на любое число – это нулевой вектор.

Пусть задан вектор  (см. Рис. 1). Вектор  – это вектор, направленный в ту же сторону, но длина его в два раза больше.

Вектор  имеет длину, в два раза большую, чем вектор  и ему противонаправлен.

Рис. 1

Законы умножения

Законы, которым подчиняется операция умножения вектора на число:

 – сочетательный закон;

 – первый распределительный закон;

 – второй распределительный закон.

Решение задач

Анализ данных законов показывает, что действия с векторами аналогичны действиям с алгебраическими выражениями.

Пример 1 – упростить выражение:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Пример 2: Дан отрезок АВ (см. Рис. 2). Точка С – середина отрезка, точка О – произвольная точка плоскости. , . Доказать, что вектор .

Решение:

1 способ: применим правило треугольника и выразим вектор  как сумму двух векторов:

С другой стороны:  

Получили систему двух уравнений:

Рис. 2

Сложим уравнения системы:

, так как С – середина АВ, значит, модули данных векторов равны, но они противонаправлены, значит, их сумма – это нулевой вектор.

Получаем:

Поделим обе части на два:

Что и требовалось доказать.

2 способ:

Раскроем скобки и приведем подобные:

Пример 3: Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Мы знаем, что средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых сторон, кроме того, мы знаем, что основания трапеции параллельны.

Воспользуемся правилом многоугольника и выразим вектор  как сумму векторов:

Рис. 3

С другой стороны, 

Получаем систему уравнений:

Выполним сложение уравнений системы, получаем:

Векторы  противоположны и дают в сумме нулевой вектор, так как М – середина АВ, то есть модули данных векторов равны, кроме того, очевидно, что они противонаправлены. Аналогично векторы  дают в сумме нулевой вектор. Таким образом, получаем:

Поделим обе части на два:

Таким образом, мы доказали, что средняя линия равна полусумме оснований. Кроме того, равенство вектора  сумме  говорит о том, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.

Итак, в данном уроке мы изучили операцию умножения вектора на число и сформулировали законы умножения. Кроме того, мы научились применять факты о векторах к решению различных задач.

                                     Выполнить по Учебнику: "Геометрия 10-11 класс" 

Решить: №344, 345, 346, стр91